DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 36;qui se trouve compris entre i et 2 , par exemple , est le loga-rithme de 2 . Il s’en trouve dans le système de nos logarithmeso.doi 02 , &c. Mais ce que Briggs ne faisoit que par une suiteinfiniment laborieuse d’extraction successives de racines quar-rées , Halley enseigne à le faire au moyen de diverses sériesauxquelles il parvient par une considération très-ingénieuse. Ilsuppose qu’entre l’unité et un nombre donné plus grand ,î -t- q , on insère un nombre de proportionnelles qui partagentla raison de î à i -+- q en un nombre de raisons égales, égalà ni ; on y parviendroit par une extraction successive de ra-cines quarrées de i -t- q ; car , par exemple , la premièreextraction partage la raison de î -+- q en deux raisons égales;la seconde , qui équivaut à une extraction de la racine quarrée,en donne quatre ; l’extraction suivante , qui seroit une extrac-tion de la racine huitième , en donne huit, et ainsi de suite.Ainsi l’extraction de la racine rn m en donnera le nombre /zz.

______ r

Il s’agit donc de trouver la valeur de cette expression i-\- q™ \en supposant m un si grand nombre, que la racine trouvéeapproche infiniment de l’unité , on aura dans cette expressioncelle de la raison infiniment rapprochée de la plus petite deces moyennes proportionnelles, la plus voisine de l’unité ; etle nombre des intervalles égaux dans lesquels sera divisée laraison de i à î -t- q sera égale à m.

Mais comment trouver la valeur de V 1 -+- q , en supposant m ,comme nous avons dit plus haut, c’est à-dire infiniment grand?Halley fait usage de la formule du binôme de Newton, suivant

II 1 t I

lequel cette racine seroit t-f ~q — m.m 1 q*-j- m.Z 1, m 2 q\ &c.

2 I. 2. 3

qui donne , en faisant les multiplications convenables ,

, I 1 — m a

i q — <7 -+

m J- im 2 J-

- + 1m m ,

&c. Mais, dit Halley

si m

est un nombre infini ( ou pour éviter l’idée de l’infini ) , unnombre si grand , qu’on puisse négliger en comparaison toutautre nombre fini, les numérateurs de cette formule se rédui-ront à m , 2OT/7Z , 6rrû , &c. car le numérateur du troisième

terme — î — m ou m — i n’est que m ; de même le troisièmese réduit à 2 mm , ce qui donne , pour la suite cherchée ,

i ^ Ç'rï ~ » &c. L’excès de la dernière de

ces moyennes proportionnelles sur l’unité est donc. . . .

&c,), série qui est aussi le logarithme