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En général, la base d’un système logarithmique quelconque est

le nombre dont le logarithme est l’umté ; elle est dans le système

des logarithmes naturels ou hyperboliques =2.718.

Supposons maintenant que dans l’expression a ' l’exposant zsoit infiniment petit, il en résultera pour la valeur de a 1 oude y une quantité qui surpassera aussi infiniment peu l’unité.Car que l’on prenne, par exemple, cette quantité 10 élevée

à une puissance dont l’exposant soit , - 00 ^ 0 - 0 - , on auroit 10 —à un nombre dont le logarithme commenceroit par zéro , etle nombre correspondant seroit l’unité, suivie de 6 zéros avantaucun nombie significatif. D’ailleurs, il est évident que puisqueio° n’est que 1 , le même nombre 10 ou tout autre éleve àune puissance infiniment peu différente de o, ne doit donnerque 1 avec une fraction infiniment petite.

De là il suit que si z est désigné ici par la quantité infini-ment petite on aura a a =i -4- une quantité infiniment pe-tite que nous exprimerons par ka , car cette derrière quantitédoit être nécessairement , quoique très petite , différente de «.

Ces suppositions préliminaires une fois établies, nous allonssuivre Euler dans son raisonnement et son calcul. A cet effet,puisque a a = 1 -+- ka , en élevant l’un et l’autre à la puissance

indéterminée z, nous aurons a ta =. i-^k ® 1 et z‘«x logarithme a,c'est-à-dire ia (parce que nous avons supposé logarithme a—i)

= logarithme 1 -4- ka 1 . Mais pour que 1 -+- ka 1 excède l’unitéd’un nombre fini z=x , il faut que i soit infiniment ou im-mensément grand , en sorte que ia soit une quantité finie ;

ainsi l’on aura 1 -4- XV = 1 -4- x et 1+^ = 1 + x r *

=1 + '-x+ T X i 1 x*+

1 1

rX7-0<r-2

I. 2. 3

•r , ,&c.=i + ^-.r—&c.

9 ' l 1U 1

Mais i étant infiniment ou immensément grand , cette suitese réduit à x H-f — |j-+- &c. ; nous avons donc 1 -t- k*> —

1-4-^ — &c. j conséquemment ka=xj — &c.

et X j — &c. j conséquemment i* = logarithme

de i-i-:r = j (27 — & c -)> et l’on aura par le même

procédé le logarithme de 1—( — ce — ^ — j —^, &c. ).

On peut maintenant, au moyen de ces deux séries, ou so-litaires ou combinées , calculer tous les logarithmes selon lesdivers systèmes qui peuvent résulter de la valeur de k , quiest arbitraire. Car supposons d’abord k= 1, ce qui est la sup-