DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 385raisonnement seroit si prolixe , qu’il seroit presque inextri-cable.
La méthode de Fermât étoit à certains égards plus directe;il y employoit les combinaisons de la manière suivante. Dansle cas du premier problème proposé , il est évident , disoit-il,que la partie sera nécessairement finie en deux coups. Voyonsdonc quelles seront toutes les différences alternatives de gainou de perte qui peuvent arriver dans deux coups ; le premierjoueur peut d’abord les gagner tous deux , ou perdre le pre-mier et gagner le second , ou gagner le premier et perdre lesecond , ou les perdre tous deux ; ainsi toutes ces alternativespeuvent être exprimées par les différentes combinaisons deslettres a et b prises deux à deux , et qui sont aa, ab, ba , bb.Or de tous ces coups ou combinaisons de gain et de pertessuccessives, il y en a trdis favora.bles au joueur le plus avancé,et leur nombre total n’est que de quatre ; ainsi la probabilitéqu’il à de gagner est i , tandis que celle de son adversairen’est que de \ ; ils doivent par conséquent partager la misetotale dans le rapport de 3 à 1 , où le premier doit en prendreles trois-quarts et le second un quart, comme dans la solutionprécédente.
La méthode de Fermât se réduit donc à ceci. Il faut exa-miner en combien de coups au plus la partie commencée doitêtre finie ; prendre autant de lettres qu’il y a de joueurs, etles combiner et changer d’ordre deux à deux, ou trois à trois ,ou quatre à quatre , âcc. le nombre des combinaisons favo-rables à chaque joueur , comparé au nombre total des com-binaisons , sera la mesure de la probabilité qu’il aura degagner , d’où il est fort aisé de déterminer quelle partie dela somme déposée doit lui revenir ; car elle doit être propor-tionnelle à cette probabilité. Dans le second problème proposéci-dessus, la partie sera nécessairement finie en trois coups auplus ; il faut donc combiner les lettres a, b trois à trois , cequi se peut faire en huit manières , savoir aaa , aab , aba ,baa , bba , bab , abb , bbb. Or de toutes ces manières , ladernière seule est favorable au joueur à qui manquent troispoints ; il n’a donc droit qu’à un huitième de la mise , et lessept huitièmes appartiennent à l’autre.
Supposons trois joueurs et qu’au premier manquât un point,au second deux , et trois au troisième : il faudroit prendre lestrois lettres a , b , c ; et parce qu'il y a trois coups à jouerau moins pour achever la partie , combine/, et permutez cestrois lettres trois à trois de toutes les manières dont ellespeuvent l’être , vous en trouverez vingt-sept, savoir aaa , aab ,aae , aba , baa . aca , caa , abb , bab , bba , abc , acb , bac ,Tome 1U. fcc