386 HISTOIRE

bca , cah , chu , bbb , bbc , bcb , cbb , ccc , cca , cac , aceccb , cbc , bcc.

Or de toutes ces combinaisons , la seule ccc peut faire gagnerle troisième joueur j il n’a donc droit qu’à la vingt-septièmepartie de la somme. Mais il y en a sept où c se trouve deuxfois ; ainsi le second joueur a droit aux ^ de la somme. Toutesles autres au contraire, au nombre de dix-neuf, où a se trouveen première , deuxième ou troisième place , dorment gain aupremier joueur , car il n’a besoin que d’un point pour gagner?ainsi la part qni lui revient de la mise totale est les ff.

Telle fut la solution que Fermât envoya à Pascal , en l’éten-dant même à trois joueurs , comme nous avons fait. Pascall’approuva ; mais il crut en même-temps que la voie des com-binaisons n’étoit sûre que pour le cas de deux joueurs. Pourle prouver, il proposait en exemple trois joueurs, à deuxdesquels il manqüoit deux points, et au second un seulement?il trouvoit par sa méthode propre, que voulant se séparer,ils dévoient partager la somme dans le rapport de 17, 5 , 5 .Cependant, disoit-il, la méthode de Fermât donne ce rapportde i5 , 6, 6. Mais nous remarquerons ici avec M. de Montmort,que Pascal se trompoit, et son erreur consiste en ce que parmiles vingt-sept combinaisons à faire des lettres a, b, c pour dé-terminer l’ordre des gains et des pertes possibles , il en omettoitdeux favorables au joueur le plus avancé , savoir bca, cba, etles rangeoit par méprise au nombre des combinaisons favorablesaux deux joueurs les moins avancés. Or il est clair que soitque b gagne le premier coup et c le second , ou au contraire,pourvu que a gagne le troisième , il sera toujours le premierarrivé au but. Fermât le remarqua sans doute à Pascal , carnous voyons que le dernier se rendit et reconnut avec élogela justesse de la méthode de son correspondant.

Quoique Pascal n’ait pas fait usage ici de la méthode descombinaisons, on ne peut pas douter qu’il n’en ait au moinsdepuis reconnu l’utilité dans une foule de questions analogues,et ce fut sans doute cette considération qui tourna ses vuessur ce sujet , et qui donna lieu à l’invention de son tiianglearithmétique. On nomme ainsi, de-puis Pascal , un triangle divisé encellules quarrées , dans lesquellesson inscrits des nombres naturels etleurs sommes, et les sommes de cessommes selon une certaine loi, ensorte qu’on a dans ses différentesrangées, ou les nombres de la pro-gression naturelle , ou les nombres

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