DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I.

A promet de donner à B un écu , si, avec un dé à six faces ,il amène au premier coup 6 , ou un point déterminé ; deuxécus , s’il ne l’amène qu’au second coup; trois, s’il ne l’amènequ’au troisième; quatre au quatrième ; quelle est l'espérance deB ? On demande ia même chose , si A promet à B de lui donnerdes écus en cette progression i. 2. 4. 8. 16, &c. ou 1. 3 . 9. 27 ,&c. ou 1. 4. 9. ié. 25 , &c. ou 1. 8. 27, &c. Montmort n’y vitpas grande difficulté, et en effet 011 trouve facilement quedans le premier cas l’espérance de B, ou ce qu’il devroit mettreau jeu pour jouer à jeu égal , est -j -H 37 + rrg 1 &c - ^

l’infini. On voit donc ici qu’il n’est question que de sommer lasuite infinie ci-dessus, dont les numérateurs croissent arithmé-tiquement , et les dénominateurs géométriquement ; ce qu’onsavoit déjà faire.

Dans lés divers cas du second problème on trouve que l’es-pérance de B , ou sa mise au jeu , est j -+- y- 6 -+- ttTî » & c -

ou 16 ■+■ ït 6 » &c - ou i-H fï+- itï , &c. respectivement ;toutes progressions susceptibles d’être sommées, ce qui sert decommentaire à ce que répond Montmort. « Les deux derniers ,dit-il, de vos cinq problèmes n’ont aucune difficulté. II ne s’agitque de trouver les sommes des suites dont les numérateurssont en progression arithmétique ou géométrique, ou des car-rés , des cubes, et les dénominateurs en progression géomé-trique. La première de ces progressions en particulier est uneprogression soutriple dont la somme à l’infini est » Il n’yavoit en cela aucun paradoxe; car ce ne seroit pas un grandeffort à B que de parier dans ce cas ~ d’écu contre la misede A. Mais Daniel Bernoulli , en simplifiant en quelque sortele problème, y a fait naître un paradoxe singulier que voici :

II n’est [dus question d’un dé à six faces , mais d’une simplepièce de monnoie , ou du jeu de croix ou pile. Jean prometà Pierre un écu, s’jl amène croix au premier coup ; deux, s’ilne l’amène qu’au second ; quatre , s’il ne l’amène qu’au troi-sième ; huit, s’il ne l’amène qu’au quatrième , et ainsi desuite. Que doit-il lui-même mettre au jeu pour jouer à jeuégal ? On trouve dans ce cas que ce qu’il devroit mettre aujeu est exprimé par la série + &c. ; car

d’abord pour le premier coup , comme il y a autant de pro-babilité à amener croix qu’à ne pas l’amener, l’enjeu de Pierredevroit être un écu. Mais pour n’amener croix qu’au secondcoup , il y a une probabilité qui n’est que de ~ ; il faut donc,pour trouver ce que Pierre doit mettre au jeu, diviser 2 écuspar 4, et l’enjeu de Pierre sera -j- écu. La probabilité de n’a-mener croix qu’au troisième coup est exprimée par la misede pierre ne doit donc être que la huitième de la mise ddTome 111 . Eee