656 HISTOIRE

L’analyse conduit Bernoulli à une équation différentielle fortcompliquée, qui exprime le temps, et dont l’intégrale, par lanature du problème, doit être égale à une quantité , ou fonctionde l’abcisse, qui soit toujours la môme, quelle que soit l’ab-cisse, puisque, de quelque hauteur que tombe le corps, il fautque le temps employé jusqu’au bas de la courbe soit le même.Cela l’engagea à démontrer quelques théorèmes préliminaires surce qu’on appelle les fonctions semblables , et il y lit voir quetoutes ces fonctions, lorsqu’elles sont ce qu’il appelle de dimen-sions nulles, sont égales entr’elles. Enfin, par des adresses decalcul, il arrivoit à une équation différentielle entre l’ordonnéeet l’abcisse de la combe qu’il construisoit au moyen des qua-dratures.

Nous remarquerons d’abord qu’il n’en est pas ici comme pourla tautochrore dans le vide ou les deux branches de la descenteet de la montée sont semblables et égales; car l’on sent aisémentque le corps arrivé au plus bas de la courbe avec une vitessemoindre que celle qu’il auroit eue sans la résistance du milieu ,et devant de plus rencontrer, eh remontant, une double causede retardement, celle de la pesanteur et celle de la résistance dumilieu dans le même temps, doit remonter à une hauteur moindre,et rouler le long d’une courbe de forme différente.

En second lieu , le point de la plus grande vitesse acquise entombant, n’est pas le point le plus bas de la courbe. Le corps aacquis cette plus grande vitesse avant que d’arriver au plus bas :c’est ce que démontroit Bernoulli. Il fit voir enfin, que si l’onsuppose la résistance nulle, la courbe en question devient lacycloïde ordinaire.

Euler suivit une route un peu différente et également digned’un analyste tel que lui. Aussi arriva-t-il à des résultats sem-blables. Mais nous ne pouvons développer ici les moyens analy-tiques qu’il employa. Nous ne parlerons que de quelques consi-dérations sur les tautochrones dans le vide qu’on trouve dans lemême volume.

Dans l’acception ordinaire de la tautochrone, on demandeque le temps de la descente du corps par une des branches de lacourbe , soit égal à celui de la montée et ensuite celui de la des-cente subséquente égal au dernier et à celui de la montée dansla première branche, et ainsi toujours jusqu’à la fin du mouve-ment qui, mathématiquement parlant, devroit ne s’anéantirjamais. Euler étend cette idée du tautochronisme ,' en cherchantquelles courbes auroient la propriété de faire que les temps de ladescente et de la montée , réunis ensemble, fussent toujours lesmêmes. Une pareille courbe auroit les mêmes avantages que lacycloïde pour la juste division dm temps, puisque l’oscillation

entière ,