DES MATHÉMATIQUES. Paht. V. Liv. III. 65jentière , composée d’une descente et d’une montée, seroit tou-jours de la meme durée, quoique la demi-oscillation ne lût paségale à la suivante. Une courbe même étant donnée pour cellede la descente, on peut trouver celle qu’il faudroit pour remplircette condition. Enfin, ce qui est remarquable, cette courbeou ces courbes , peuvent devenir, dans quelques cas, pure-ment algébriques ; tandis que toutes les autres tautochrones sonttranscendantes.
Le mémoire de Bernoulli, sur ce sujet, lit sensation parmi lesgéomètres, et donna à ce problème une grande célébrité. Fon-taine qui venoit d’entrer à l’Académie , en donna, en jj'oà ,une solution. Voyez les Mémoires de 17^4 et 1768. Il dit à cesujet que ce problème avoit tourné les esprits de ce côté-là,qu’on ne parloit que du problème des tautochrones , qu’il endonna une solution , et qu’alors on n’en parla plus. (Mémoirespubliés en 1764 : p. 3 ).
11 est vrai que la solution de Fontaine a sur les précédentesquelques avantages , en ce que les solutions exigeant qu’on aitl’expression de la vitesse, ne sont applicables qu’aux cas oùl’équation différentielle de cette vitesse est intégrable. C’est pour-quoi Bernoulli et Euler ne traitèrent ce problème que dans le casd’une résistance proportionnelle au quarré de la vitesse. Eulerreconnoît lui-même, à la lin de sa solution de 1729, que l’ana-lyse étoit, par cette raison, en défaut pour une solution plusgénérale du problème. Mais Fontaine sut trouver une méthodeindépendante de cette intégration, à quoi il parvint au moyend’un calcul particulier, qui consiste à faire varier les quantités dedeux manières différentes; méthode qui a quelque rapport àcelle par laquelle on est parvenu à résoudre divers problèmestrès-difficiles sur les trajectoires. Il appliqua sa méthode à lasolution du problème dans diverses hypothèses , comme cellesd’une résistance proportionnelle à la vitesse, ou à son quarré, ouà une fonction formée de la vitesse et du quarré.
La solution de Fontaine parut en effet aux géomètres si satis-faisante qu’Euler en faisant l’éloge, l’étendit encore en 1764,dans le 10 e volume des nouveaux Mémoires de Pétersbourg.
La Grange en lit ensuite l’objet d’un mémoire lu à l’Académiede Berlin en 1767, et inséré dans le volume de ses mémoires pour1765. Il y envisagea la question des tautochrones sous un pointde vue un peu différent, et parvint à une formule generale etfort simple , qui donne l’expression de la force nécessaire pourproduire le tautochronisme, et qui a l’avantage de renfermertous les cas déjà résolus et une infinité d’autres où l’on doutoitque le problème pût se résoudre.
Fontaine ne voulut pas, ce semble, après ce qu’il avoit dit deTome III. O o 0 o