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D'Alcmbert attaqua cette prétention dans les Mémoires deBerlin , de 1750. Daniel Bernoulli entra aussi dans la lice ; eten même-temps qu’il témoignoit la plus grande estime pour laprofonde analyse qui avoit guidé Euler et d’Alembert, préten-dit néanmoins contre l’un et l’autre que cette analyse abs-traite n’avoit pu les conduire sûrement à leur but ; ayant toujourspensé, dit-il, que la courbe de la corde vibrante est toujoursune trochdide allongée , ou un composé des pareilles trochoïdes,quelques ligures initiales que l’on ait données à la corde.
Euler ne tarda pas de répondre à Bernoulli, et par occasionà dAlembert. Sa réponse est à la suite des écrits dont nousvenons de parler. 11 y développe et met dans un nouveau jourson analyse, et persiste à prétendre contre le premier que lestrochoïdes tayloriennes ne sont pas les seules admissibles dansla solution du problème en question ; ce qui est chez lui unesuite de son analyse ; il répondoit au second que c’étoit à tortquïl prétendoit donner l’exclusion aux courbes discontinuesqu’Euler avoit introduites dans sa solution, qui n’est sujetteà aucune limitation fondée sur la continuité ou discontinuitédes courbes en question. Que cette introduction des fonctionsdiscontinues dans l’analyse transcendante étoit un nouveaumoyen de recherches, non-seulement admissible, mais néces-saire dans une multitude de problèmes physico-mathématiques jc’est ce dont les géomètres conviennent actuellement comme onle verra à la lin de cet article.
On ne peut s’empêcher de reconnoître dans ces observationsde Daniel Bernoulli toute la sagacité qui caractérise ses autresproductions, et c’est un aveu que faisoit Euler dans la réponsequïl lui opposa, et qu’on lit immédiatement après, dans lesMémoires de Berlin , de 1753. Euler n’y conteste point la for-mation des diverses courbes que Bernoulli déduit de la théorietaylorienne ; mais en les admettant, il persiste dans la préten-tion qu’elles ne sont pas les seules qu’on doive y admettre. Ilreprend à cet effet sa solution de 1748, en la développantdavantage, et s’attache surtout à faire voir qu’on peut prendre
f rourcourbe initiale, telle courbe qu’on voudra, et à déterminera construction de la courbe que prendra la corde livrée à elle-même et après un temps donné. Il ne me paroît pas quïl soitpossible de se refusera cette analyse, et sans doute s’il y avoiteu quelque exception à y opposer, elle n’auroit pas échappé àBernoulli que je ne sache pas y avoir rien opposé postérieu-rement, quoique dans des mémoires insérés dans la suite parmiceux de Pétersbourg , il ne paroisse pas avoir changé de sen-timent. Ne pourroit-on pas dire d’un autre côté qu’Euler s’entenant toujours dans les termes généraux d’une analyse abs-