128 MECANIQUE CELESTE.

Si l’on ajoute la première de ces équations, multipliée par«à la seconde multipliée par x, on aura

d.[xdy — ydx)

-y>

O :

(Il

x. Q — y. P.

Il est aisé de voir que xcly—ydx est le double de l’aire que lerayon vecteur de la planète décrit autour du soleil, dans l’ins-tant dt; cette aire est proportionnelle à l’élément du temps, sui-vant la première loi de Kepler, en sorte que l’on a

xdy —ydx = cdt,

c étant une constante : la différentielle du premier membre decette équation est donc nulle ; ce qui donne

x . Q — y . P = o.

11 suit de là que les forces P et Q sont entre elles dans le rapportde a; à j, et qu’ainsi leur résultante passe par l’origine des coor-données, c’est-à-dire par le centre du soleil. D’ailleurs, la courbedécrite par la planète étant concave vers le soleil, il est visibleque la force qui la fait décrire tend vers cet astre.

La loi des aires proportionnelles aux temps employés à lesdécrire nous conduit donc à ce premier résultat remarquable,savoir, que la lorce qui sollicite les planètes et les comètes estdirigée vers le centre du soleil.

2. Déterminons maintenant la loi suivant laquelle cette forceagit à différentes distances de cet astre. Il est clair que les planèteset les comètes s'approchant et s’éloignant alternativement du so-leil à chaque révolution, la nature du mouvement elliptique doitnous conduire à cette loi. Reprenons dans cette vue les équationsdifférentielles (i) et ( 2 ) du numéro précédent. Si l’on ajoute la