222 MECANIQUE CELESTE.

vitesses des planètes dans des cercles différents sont réciproquesaux x’acines carrées de leurs rayons.

Dans la parabole, a = oo, partant V=U.\/^; les vitesses

dans les différents points de l’orbite sont donc alors réciproques auxracines carrées des rayons vecteurs, et la vitesse à chaque pointest à celle qu’aurait la planète, si elle décrivait un cercle d’unrayon égal au rayon vecteur r, comme \pi : 1.

Une ellipse infiniment aplatie se change en ligne droite, et,dans ce cas, V exprime la vitesse de m, s’il descendait en lignedroite vers M. Supposons que m parte de l’état du repos, et quesa distance primitive à il/ soit r; supposons de plus que, parvenua la distance r, il ait acquis la vitesse V', l’expression précédentede la vitesse donnera les deux équations suivantes :

d’où l’on tire

r=c/. v /H^ZÎ ;

c’est l’expression de la vitesse relative acquise par m, en partantde la distance r, et en tombant vers M de la hauteur r — r. Ondéterminera facilement, au moyen de cette formule, de quellehauteur le corps m, mû dans une section conique, devrait tombervers il/, pour acquérir, en partant de l’extrémité du rayon vec-teur r, une vitesse relative égale à celle qu’il a à cette extrémité;car, U étant cette dernière vitesse, on a

V'=U\ - —- ,

r a

mais le carré de la vitesse acquise en tombant de la hauteur r— r,

f r \

est 2 £/\——,—- ; en égalant ces deux expressions, on aura donc

r.{ia—r)

4 a — r

Dans le cercle a—r, et alors r —r = ÿr; dans l’ellipse, on a