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MÉCANIQUE CÉLESTE.

À, I, Z, etc. étant des fonctions périodiques de t, qui renfer-ment les i arbitraires c, c, c, etc. et les puissances de t, danscette expression de y, s’étendant à l’infini par les approximationssuccessives. Il est visible que les coefficients de ces puissancesdécroîtront avec d’autant plus de rapidité que a sera plus petit :dans la théorie des mouvements des corps célestes, a exprimel’ordre des forces perturbatrices, relativement aux forces princi-pales qui les animent.

Si l’on substitue la valeur précédente de y, dans la fonction

(l* y

-ÿp -r-P + a.Q, elle prendra cette forme, /î- b/;'t H-C-f- etc.

k, k', k", etc. étant des fonctions périodiques de t; mais, par lasupposition, la valeur de y satisfait à l’équation différentielle

o=%+P + a.Q;

on doit donc avoir identiquement

o — k —f— k t —|— k t* —i— etc.

Si k, k', k", etc. n’étaient pas nuis, cette équation donnerait, parle retour des suites, l’arc t, en fonction de sinus et de cosinusd’angles proportionnels à t; en supposant donc a infiniment pe-tit, on aurait t égal à une fonction finie de sinus et de cosinusd’angles semblables, ce qui est impossible; ainsi les fonctions k,k', etc. sont identiquement nulles.

Maintenant, si l’arc t n’est élevé qu’à la première puissance,sous les signes sinus et cosinus, comme cela a lieu dans la théoriedes mouvements célestes, cet arc ne sera point produit par les

différences successives de y; en substituant donc la valeur précé-

df y

dente de y, dans la fonction +P+a. Q, la fonction k+k't+ etc.

dans laquelle elle se transforme, ne contiendra l’arc t, hors dessignes sm. et cos. qu’autant qu’il est déjà renfermé dans y; ainsi,