INTRODUCTION.

XXXIX

l’analyse. Nous observerons seulement que A, exprimant une fonc-tion de la variable t, développée en série, B étant l’unité diviséepar la variable, moins un, et C étant l’unité divisée par la puis-sance i de la variable, moins un; le produit de A, par une puis-sance quelconque n de B, sera la fonction génératrice des diffé-rences n' émcs des coefficients de la série A, l’indice variant de l’unité :le produit de A par une puissance ri de C sera la fonction géné-ratrice des différences ri' imcs des mêmes coefficients, l’indice varianlde t. Ainsi S et A étant supposés être les caractéristiques corres-pondantes à B et à C, toutes les équations identiques que l’on peutformer entre B et C donneront, en y changeant ces quantitésdans leurs caractéristiques, autant d’équations identiques entreces caractéristiques, pourvu que, dans le développement de ceséquations, on place les puissances et les produits de puissancesde ces caractéristiques devant la fonction de l’indice.

Si ce développement donne aux caractéristiques des exposantsnégatifs, elles indiqueront alors des intégrales finies. En effet, leproduit de A par la puissance n de B, étant la fonction génératricedes différences n l “ mts des coefficients de A, ces coefficients sont lesintégrales des coefficients de la fonction génératrice queforme ce produit; d’où il suit qu’une fonction génératrice, mul-tipliée par B, élevé à la puissance n prise en moins, est la fonctiongénératrice des intégrales n' ème ‘ des coefficients de cette fonction.Les puissances négatives de S, placées devant ces coefficients,indiquent par conséquent des intégrales; ce qui donne la raisonde l’analogie observée entre les puissances positives et les diffé-rences, et entre les puissances négatives et les intégrales.

Il est facile de voir que G est égal à la puissance i du binôme,un plus B, en retranchant l’unité de cette puissance. Si l’on élèveà la puissance n les deux membres de cette égalité, elle subsisteratoujours, quels que soient n et son signe : en changeant B et Cdans leurs caractéristiques § et A, et en observant que les carac-