INTRODUCTION.

CXVII

Des bénéfices des établissements qui dépendent de la probabilité

des événements.

Rappelons ici ce que nous avons dit en parlant de l’espérance.On a vu que pour obtenir l’avantage qui résulte de plusieurs évé-nements simples dont les uns produisent un bien, et les autres uneperte, il faut ajouter les produits de la probabilité de chaqueévénement favorable, par le bien qu’il procure, et retrancher deleur somme celle des produits de la probabilité de chaque évé-nement défavorable, par la perte qui y est attachée. Mais quelque soit l’avantage exprimé par la différence de ces sommes, un seulévénement composé de ces événements simples ne garantit pointde la crainte d’éprouver une perte réelle. On conçoit que cettecrainte doit diminuer lorsque l’on multiplie l’événement composé.L’analyse des probabilités conduit à ce théorème général.

Par la répétition d’un événement avantageux, simple ou com-posé, le bénéfice réel devient de plus en plus probable, et s’accroîtsans cesse : il devient certain, dans l’hypothèse d’un nombre infinide répétitions; et en le divisant par ce nombre, le quotient ou lebénéfice moyen de chaque événement est l’espérance mathéma-tique elle-même, ou l’avantage relatif à l’événement. Il en est demême de la perte qui devient certaine à la longue, pour peu que1 événement soit désavantageux.

Ce théorème sur les bénéfices et les pertes est analogue à ceux quenous avons donnés précédemment sur les rapports qu’indique la ré-pétition indéfinie des événements simples ou composés; et commeeux, il prouve que la régularité finit par s’établir dans les chosesmêmes les plus subordonnées à ce que nous nommons hasard.

Lorsque les événements sont en grand nombre, l’analyse donneencore une expression fort simple de la probabilité que le béné-fice réel sera compris dans les limites déterminées, expression quirentre dans la loi générale de la probabilité, que nous avons