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INTRODUCTION.

termes périodiques. Mais toutes ces séries n ont point, à propre-ment parler, de valeurs : elles n’en prennent que dans le cas oùleurs termes sont multipliés par les puissances successives d’unevariable moindre que l’unité. Alors ces séries sont toujours con-vergentes, quelque petite que l’on suppose la différence de lavariable à l’unité; et il est facile de démontrer que les valeursassignées par Bernoulli, en vertu de la règle des probabilités,sont les valeurs mêmes des fractions génératrices des séries, lorsquel’on suppose dans ces fractions la variable égale à l’unité. Cesvaleurs sont encore les limites dont les séries approchent deplus en plus, à mesure que la variable approche de l’unité. Maislorsque la variable est exactement égale à l’unité, les séries cessentd’être convergentes; elles n’ont de valeurs qu’autant qu’on lesarrête. Le rapport remarquable de cette application du calcul desprobabilités, avec les limites des valeurs des séries périodiques,suppose que les termes de ces séries sont multipliées par toutesles puissances consécutives de la variable. Mais ces séries peuventrésulter du développement d’une infinité de fractions différentes,dans lesquelles cela n’a pas lieu. Ainsi la série plus un, moins un,plus un, etc. peut naître du développement d’une fraction dont lenumérateur est l’unité plus la variable, et dont le dénominateurest ce numérateur augmenté du carré de la variable. En suppo-sant la variable égale à l’unité, ce développement se change dansla série proposée, et la fraction génératrice devient égale à -§-; lesrègles des probabilités donneraient donc alors un faux résultat ;ce qui prouve combien il serait dangereux d’employer de sem-blables raisonnements, surtout dans les sciences mathématiquesque la rigueur de leurs procédés doit éminemment distinguer.

Nous sommes portés naturellement à croire que l’ordre suivantlequel nous voyons les choses se renouveler sur la terre a existéde tout temps, et subsistera toujours. En effet, si l’état présentde l’univers était entièrement semblable à l’état antérieur qui l’a