pair. Solution du problème. H y a de l’avantage à parier pour un nombreimpair. n° 5 , page 218.
Expression de la probabilité d’amener x boules blanches, x' boules noires,x" boules rouges, etc. en tirant une boule de chacune des urnes dont lenombre est x -+-x' ■+- x" -+- etc. et qui renferment chacune p boules blanches,q boules noires, r boules rouges, etc. n° 6, page 220.
Déterminer la probabilité de tirer ainsi des urnes précédentes, x boules blanches, avantd’amener soit x' boules noires, soit x" boules rouges, soit, etc. Solution du pro-blème par la méthode des combinaisons. Identité de ce problème avec celuiqui consiste à déterminer les sorts d’un nombre n de joueurs dont les adressesrespectives sont connues, lorsqu’il manque pour gagner la partie, x coups aupremier, x' au second, x" au troisième, etc.n° 7, page 2 2 3 .
Solution générale du problème précédent, par l’analyse des fonctions généra-trices. Dans le cas de deux joueurs A et B dont les adresses respectives sontégales, le problème est celui que Pascal proposa à Fermât, et que ces deuxgrands géomètres résolurent. Il revient à imaginer une urne qui renfermedeux boules, l’une blanche et l’autre noire, portant chacune le n° 1 ; la bouleblanche étant pour le joueur A , la boule noire pour le joueur B. On tire del’urne une boule que l’on y remet ensuite, pour procéder à un nouveautii’age, et l’on continue ainsi jusqu’à ce que la somme des numéros sortis,favorable à l’un des joueurs, atteigne un nombre donné. Après un certainnombre de tirages, il manque encore au joueur A le nombre a;, et au joueur Ble nombre x'. Les deux joueurs conviennent alors de se retirer du jeu, enpartageant l’enjeu qu’ils ont mis en commençant : il s’agit de connaître com-ment doit se faire ce partage. Ce qui revient aux joueurs doit être évidemment proportionnel à leurs probabilités respectives de gagner la partie.Généralisation et solution de ce problème, i° en supposant dans l’urne uneboule blanche favorable à A, et portant le n° 1, et deux boules noires favo-rables à 73 , et portant l’une le n° 1 , et l’autre le n° 2 ; chaque boule diminuantde son numéro le nombre des points qui manquent au joueur auquel elle estfavorable ; 2 0 en supposant dans l’urne deux boules blanches portant les n“ 1et 2, et deux boules noires portant les mêmes numéros. . . n° 8, page 2 2 5 .
Concevons dans une urne, r boules marquées du n° 1 , r boules marquées du n° 2, etainsi de suite jusqu'au n° n: ces boules étant bien mêlées dans l’urne, et tirées toutessuccessivement, on demande la probabilité qu’il sortira au moins s boules au rangindiqué par leur numéro. Solution générale du problème, et de celui danslequel, avant i urnes renfermant chacune le nombre n de boules, toutes de