68 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

cond membre, tel que a. y^_ r , est k.V 1 .y KX ,^ r , V .y IjX/ étant le

coefficient de la fonction génératrice u.z, coefficient qui est iciégal à

y x-*-i , x'-f-i a^y x, x'-hi b*y x +, ^ x t c.y x>x t •

Si l’on a o — V.y x<xM les coefficients des termes affectés de z dis-paraîtront, et alors on aura l’expression de y xx , en fonction dey, xi > Jo, x'-i » y o , x'+i> etc.: cette expression sera l’intégrale de l’é-quation

o = y x ^, *,+, — a.y Xi x ,^ — b.y x ^^ x , — c. y x t x ,. (b)

Pour avoir cette expression, z peut être considéré comme nul,puisque l’on ne doit avoir égard qu’aux termes indépendants de z;l’équation (a) devient ainsi

i a b

c’est ce que je nomme équation génératrice de l’équation ( b ) auxdifférences partielles. En effet, on obtient cette dernière équa-tion en multipliant la précédente par u, et repassant des fonctionsgénératrices aux coefficients.

L’expression que l’on obtient par l’analyse précédente poury x ,x>> est une suite infinie: on parviendra de cette manière à une

expression finie. Reprenons la valeur de — “, x , , et donnons-lui

cette forme

(j — b + bj .^c-rab-T-a.^y—bj

Si Ion développe le second membre de cette équation, par rap-