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LIVRE PREMIER, PREMIÈRE PARTIE.

En passant du fini à l’inliniment jielit, on voit avec évidenceque le nombre des fonctions arbitraires des équations aux dillé-rentielles partielles peut être moindre que le plus haut degré dela différentielle dans ces équations.

16. Quoique les formules données dans les n os 13 et 14 aientune grande généralité, il y a cependant quelques cas qui n’ysont pas compris. Ces cas ont lieu lorsque l’équation z = o donne

1 expression de - en — par une suite infinie, ce qui arrive toutesles fois que la plus haute puissance de y est multipliée par unefonction rationnelle de ÿ. Pour avoir alors l’expression de y xiX , en

termes finis, il est nécessaire de recourir à quelques artificesd’analyse que nous allons exposer, en les appliquant à l’équationsuivante,

i

JT

U

7

Cette équation donne

«

par conséquent

En développant le second membre de cette dernière équation, etrepassant des fonctions génératrices aux coefficients, on aura l’ex-pression de y x>x ,; car cette quantité est le coefficient de t\ t' ù dans

le développement de la fonction génératrice U T - , ; et le coeffi-cient t\ t'° dans un terme quelconque du développement du se-

9 .