240 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS,fonction, chaque combinaison n’est point répétée; ainsi la combi-naison de s boules sortant à leur rang ne s’y trouve qu’une fois;car cette combinaison est comprise 5 fois dans le premier termede la fonction, puisqu’elle peut résulter de chacune des s boules

sortant à son rang; elle est retranchée

s.(s-i)

1 . 2

fois dans le second

terme, puisqu’elle peut résulter des combinaisons deux à deux des

5 f Ç_. 1 ) ( ç_1 ,

s boules sortant à leur rang; elle est ajoutée —--- fois dans

le troisième terme, puisqu’elle peut résulter des combinaisons des lettres prises trois à trois, et ainsi de suite; elle est donc dansla fonction (A), comprise un nombre de fois égal à

1 .2

S.(5— l).(i' —2)

1 .2 . 3

etc.

et par conséquent égal à 1 — (1 — 1 )‘, ouà l’unité. En divisant lafonction (A) par le nombre rn.[rn — 1 ).(/■«— 2 — n- 1— 1 ) detous les cas possibles, on aura pour l’expression de la probabilitéqu’une boule au moins sortira à son rang,

! _ ( n ~ 0 r _,_ (n-i).(ra-2).r»

i.2.(rn— 1) 1. 2 . 3 .(rn—i).(rn—2)

_ (»-i).(n- 2 ).(n- 3 ). r 3 /g\

1. 2 . 3 . 4 .(rn-i).(rn—2).(rn— 3 ) ’ '

Cherchons maintenant la probabilité que s boules au moinssortiront à leur rang. Le nombre des cas dans lesquels s boulessortent à leur rang est, par ce qui précède,

H.(/i— 1 ).(/! — 2).(« — S+ I )

1 .2 .3.. .S

. r s .(rn — s).[ni — s -r-i)...(/7i —n — 1 — 1 ), (b)

pourvu que l’on retranche de cette fonction les cas qui sont répé-tés. Ces cas sont ceux dans lesquels s + i boules sortent à leurrang, car ils peuvent résulter dans la fonction, de s-i-i boulesprises s à s; ces cas sont donc répétés s-hi fois dans cette fonc-