LIVRE DEUXIEME. 239

trois boules sortent à leur rang, en multipliant r 3 ,

par (rn —3 ).(rn —4)---(rn— n-l-i), nombre qui exprime celui descombinaisons des m — 3 boules restantes, prises n — 3 à n —3,en ayant égard à l’ordre qu’elles observent entre elles. Si l’onajoute ce produit à la fonction (a), on aura

n.r.(rn —î ).(rn — 2 ).. .(rn — n-+- 1 )

n.(n-i)

r’.frn — 2 ).(rn — 3).. .(rn — n-|-i)

1.2.3 — 3 ).(rn — 4 )...(m—n-M) ; (a)

1.2

n.(n— i).(n—2)

cette fonction exprime le nombre de tous les cas dans lesquels uneboule au moins sort à son rang, pourvu que l’on en retrancheencore les cas répétés. Ces cas sont ceux dans lesquels quatreboules sortent à leur rang. En y appliquant les raisonnementsprécédents, on verra qu’il faut encore retrancher de la fonction(a) le terme

n.(n—i).(n- 2 ).(n—3) i , /W , ,

i. 2 .3 .4 -r.(m à)-(rn 5)....(m

En continuant ainsi, on aura pour l’expression du nombre des casdans lesquels une boule au moins sort à son rang

n.(n-i)

1.2

n.r.(rn — 1 ).{rn — 2 ).. .(m— rc-f-i). r*.(ra— 2 ).{rn — 3).. .(m — rc-hi)

— — 3).(ru— 4)...(m — n+i) (A)

- . r*. (m — 4)• {m — 5)... {rn — n -+-!)

— etc.

la série étant continuée aussi loin qu’elle peut l’être. Dans cette