242 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

c’est le nombre de tous les cas possibles dans lesquels s boulessortent à leur rang, pourvu que l’on en retranche encore les casqui sont répétés. En continuant de raisonner ainsi, et divisant lafonction finale par le nombre de tous les cas possibles, on aurapour l’expression de la probabilité que s boules au moins sortirontà leur rang,

(n — 1 ).( n — 2 )...( n — s+i). r ,—1î . 2 .3...s.(rn—i).(rn— 2 )...(rn—s+i)s (n-s).r s (n— s).(n — s — i).r’

« + i ' rn—s s +2 ‘ î . 2 .(rn— s).[rn— s— î)

_J_ ( n -5).(n-i-i).(yi-i-a).r» ^

s + 3 ' i .2.3.(rn— s).(rn—s—\).{rn—s~ 2 )

On aura la probabilité qu’aucune des boules ne sortira à sonrang, en retranchant la formule ( B ) de l’unité, et l’on trouverapour son expression,

[1 . 2 . 3 ...rn]— n.r.[i .2.3...(rn— 1 )]+ —.^.[t ,2.3...(rn— 2 )] — etc.

1 .2.3.... rn

On a, parle n° 33 du premier livre, quel que soit 1 ,

i.2.3....i= fx'dx. c~ x ,

l’intégrale étant prise depuis x nul jusqu’à x infini. L’expressionprécédente peut donc être mise sous cette forme,

fx rn ~ n dx.(x—r) n .c~ x , ,

Jx? n dx.c— X '

Supposons le nombre rn de boules de l’urne très-grand, alorsen appliquant aux intégrales précédentes la méthode du n° 24du premier livre, on trouvera à très-peu près, pour l’intégrale dunumérateur,

\Jn.A *+/!.(r— 1 ).(A — r) s

y 2 7r. \ nM . ( 1