246 THÉORIE ANALYTIQUE DES PRODABIL1TÉS.

pour gagner la partie au coup b. On retranchera ce terme, du dé-veloppement, et Ton en retranchera pareillement le dernier termecf, si b=a, parce qu’alors ce terme exprime la probabilité de Bpour gagner la partie au coup b. Ensuite on multipliera le restepar p-r-fj: le premier terme de ce produit aura pour facteur p h .(j,et comme l’exposant b ne surpasse que de b — 1 l’exposant de q,il en résulte que la partie ne peut pas être gagnée par le joueur A,au coup b-h i , ce qui est visible d’ailleurs; car si A a perdu unjeton dans les b premiers coups, il doit, pour gagner la partiegagner ce jeton plus les b jetons du joueur B, ce qui exige b-h 2coups. Mais si a=b-h 1 , on retranchera du produit son dernierterme, qui exprime la probabilité du joueur ZI pour gagner la partieau coup 6 —t— 1 -

On multipliera de nouveau ce second reste, par p- i-q : le pre-mier terme du produit aura pour facteur p b ^'-q, et comme l’ex-posant de p y surpasse de b celui de q , ce terme exprimera laprobabilité de A pour gagner la partie au coup b 2 . On retran-chera pareillement du produit, le dernier terme, si l’exposant deq y surpasse de a celui de p.

On multipliera de nouveau ce troisième reste, par p-^-q, et l’oncontinuera ces multiplications jusqu’au nombre de fois n — b, enretranchant à chaque multiplication le premier terme, si l’expo-sant de p y surpasse de b, celui de q, et le dernier terme, si l’ex-posant de q y surpasse de a, celui de p. Cela posé, la somme despremiers termes ainsi retranchés sera la probabilité de A pourgagner la partie, avant ou au coup n; et la somme des dernierstermes retranchés sera la probabilité semblable relative aujoueur B.

Pour avoir une solution analvtique du problème, soit y xx . laprobabilité du joueur A pour gagner la partie, lorsqu’il a x jetons,et lorsqu’il n’a plus que x coups à jouer pour atteindre les n coups.Cette probabilité devient au coup suivant, ou ou y x _,