LIVRE DEUXIÈME. 245

ce nombre; il faut donc les en retrancher. Le nombre de ces casest, par ce qui précède,

[1.2.32)]*-;

en le retranchant du nombre précédent, on aura la fonction

/i. [1.2. 3 .... (« — 1)]' 1 — - -^ n ^ .[i.2.3....(re— a)] 1-1 .

Mais cette fonction renferme elle-même des cas répétés : en con-tinuant de les exclure, comme on fa fait ci-dessus relativement àune seule urne; en divisant ensuite la fonction finale, par le nombrede tous les cas possibles, et qui est ici [ 1. 2 . 3 ... 11 on aurapour la probabilité qu’une des n — 1 couleurs au moins sortiraà son rang dans les i — 1 tirages qui suivent le premier,

11 1

-,- - -;_ -I _;- - gfp

7l‘ 1 I .2.[ 71.(71 —1 .2 .3.[7l.(7i — l).(7i— 2)]' *

expression dans laquelle il faut prendre autant de termes qu’il ya d’unités dans n. Cette expression est donc la probabilité qu’aumoins une des couleurs sortira au même rang dans les tiragesdes 7 urnes.

10 . Considérons deux joueurs A et B, dont les adresses soientp et q, et dont le premier ait a jetons, et le second, b jetons.Supposons qu’à chaque coup, celui qui perd donne un jeton àson adversaire, et que la partie ne finisse que lorsqu’un desjoueurs aura perdu ses jetons; on demande la probabilité quel’un des joueurs, A par exemple, gagnera la partie, avant ou aun' éme coup.

Ce problème peut être résolu avec facilité par le procédé sui-vant, qui est, en quelque sorte, mécanique. Supposons b égal oumoindre que a, et considérons le développement du binôme (p-r-qr) 6 .Le premier terme p b de ce développement sera la probabilité de A