274 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

compléter l’expression précédente de la fonction génératrice dey*,lui ajouter une fonction rationnelle et entière de t, de 1 ordre i,et dont les coefficients des puissances de t soient les valeurs dey'*,lorsque x est égal ou plus petit que i. Or y'* est nul, lorsque xest moindre que i; et lorsqu’il est égal à i, y'* est (i — cj)‘, parcequ’il exprime alors la probabilité de B pour gagner la partie après icoups; la fonction à ajouter est donc (i—ainsi l a fonctiongénératrice dey'* est

kq.ut.[i^~ qt.. .. H- q'~' -h-(i - — 9 )*'. r.

Si l’on nomme u cette fonction, l’expression de y* en y'*_, ,y'*_,, etc.donnera pour la fonction génératrice dey*, en changeant dans

celle dey'*, k dans q dans i - </,

p(i--9)-“'*-[ 1 - } -(i-~7) L • - -4- ( 1 - -7) l ' _s <■'-*]-î-9T.

Cette quantité est donc égale à u; d’où l’on tire, en y substituantpour u sa valeur précédente,

__ 7 , ^( 1 - yO -[i -(■ -yyi'l _

11 i — t — — + (i — <y). (/‘f-"'— 7‘.(i — (j)‘t u

En changeant q en i — q, on aura la fonction u' génératrice dey*.Si l’on divise ces fonctions par i — t, on aura les fonctions géné-ratrices des probabilités respectives de A et de K, pour gagner lapartie avant ou au coup x.

Si l’on suppose t=i dans u, on aura la probabilité que .1 ga-gnera la partie ; car il est clair qu’en développant u suivant lespuissances de t, et en supposant ensuite t - i, la somme de tousles termes de ce développement sera celle de toutes les valeursdey*. On trouve ainsi la probabilité de A pour gagner la partie,égale à

_[i -( i-</)']• 7 '~ 1 .

(i- 7 )—+ 7‘-‘î-v)'- ’