LIVRE DEUXIÈME. 273

mence à gagner .B au coup x —i-t-i, et qu’il continue de le gagnerles i —1 coups suivants. Or avant de commencer le coupa;—«-+-i,

B aura déjà gagné A, ou une fois, ou deux fois.ou i —1 fois.

Dans le premier cas, si l’on nomme P la probabilité de ce cas,P -{'— f /)‘ _1 sera probabilité de B pour gagner la partieau coup x —i, ce qui donne

y

( 1 — 7)'

Mais si B perd au coup x — i+i et aux i — i coups suivants,A gagnera la partie au coup x, et la probabilité de cela est P.ÿ;q 1 y

( ! __ q y-i est donc la partie de y x , relative au premier cas.

Dans le second cas, si l’on nommeP'sa probabilité, P', (i —sera la probabilité y x _, de B pour gagner la partie au coup x —a.La probabilité de A pour gagner la partie au coup x, relative à

ce cas, est P'.cj 1 ; on a donc pour cette probabilité.

En continuant ainsi, on aura

— 7)-/—-*- t 1 —9)\r —• • • • -+-(! —

Si 1 on change cj en i— (j,y x en y' x> et réciproquement, on aura

/ ( i — f/)‘ r » i

y*= [7-j—-9-/x-,.•.

Maintenant, u étant fonction génératrice de y x , celle dej^ sera,par tout ce qui précède,

kq.ul.(i^~qt r -(jt\ . . . —- (j'-W = ),

k étant égal à - . Mais l’expression précédente de y x ne com-

mençant à avoir lieu que lorsque x ==i-f i, parce que pour desvaleurs plus petites de x, y x _ l ,y x _ a , etc. sont nuis; il faut, pour

TOME Vil. 35