290 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Si (L t,, f>, etc.), Ç> (*),(£'(t) etc. <p, (f,),etc. sont des fonctionsrationnelles et entières des variables t, etc. de leurs expo-

nentielles, et de sinus et cosinus; toutes les intégrations succes-sives seront possibles, parce qu’il est de la nature de ces fonctionsde se reproduire par les intégrations. Dans les autres cas, les in-tégrations pourront n’être pas possibles ; mais l’analyse précédenteréduit alors le problème aux quadratures. Le cas des fonctionsrationnelles et entières offre quelques simplifications que nousallons exposer.

Supposons que l’on ait

<p (t) + l q .Ç>' (q + t) +I 9 .<p" (q +t ) + etc. = A + B .(+C .V +etc.p, (^i) + P' - O - * - ^ '•*? >(9 =A l +B i .t l +C l . t\+ etc.

p t (t,) + 1 ’*. <?',(</, 4-1,)+ /’’’.p", [tj\+1 ,) + etc. = A,-i B,. t,4 L’,. t\4 ■ etc.

etc.

et désignons par ff. t n . f,"'. f,"'. etc. un terme quelconque de/î.H-t,, etc.), il est facile de s’assurer que la partie

de ü(s) correspondante à ce terme est

3 0 o . „ 11 1+ n -t- n,-h 11,-+- etc. — 1

...n. 1 . 2 . 0 ... r ,. 1 . 2 . 0 ... n,. etc. H. s

X [/1 4- (r +1). B . 54-(n + i).(r + 2). C. sM-etc.jX[d,+ (R,4-l). B..S + (r,4-i).(Ri4- 2). C,. etc.] (B)X [ 4,4- (r,4- 1 ) . B,. S 4- ( R, 4-1 ) . ( /!,-+- 2 ) . C,. s*4- etc.]

X etc.

pourvu que dans le développement de cette quantité, au lieu d une

s a

puissance quelconque a de s, on écrive ^ ^ --. On aura en-

suite la partie correspondante de la somme entière des valeurs de\J/ [t, t,, f,, etc.), multipliées par leurs probabilités respectives, enchangeant un terme quelconque de ce développement, tel queHX. ^. s° dans f/X. (s —f i) a , et en substituant dans H , au lieu de k,la partie de l’exposant jx, qui est relative à la variable t, au lieude /c,, la partie relative à f,, et ainsi du reste.