366 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

H .Ç [—x).$ (q—x).(p((j { ' ) —x). etc.

cette courbe sera celle des probabilités des valeurs de x. La valeurqu’il faut choisir pour résultat moyen est celle qui rend l’erreurmoyenne à craindre, un minimum. Toute erreur, soit positive, soitnégative, devant être considérée comme un désavantage, ou uneperte réelle au jeu, on a le désavantage moyen, en prenant lasomme des produits de chaque désavantage, par sa probabilité;la valeur moyenne de l’erreur à craindre est donc la somme desproduits de chaque erreur, abstraction faite du signe, par sa pro-babilité. Déterminons l’abscisse qu’il faut choisir pour que cettesomme soit un minimum. Pour cela, donnons aux abscisses, pourorigine, la première extrémité de la courbe précédente, et nom-mons x et y les coordonnées de la courbe, à partir de cette ori-gine. Soit l la valeur qu’il faut choisir. Il est clair que si le vrairésultat était x, l’erreur du résultat l serait, abstraction faite dusigne, l-—x, tant que x serait moindre que /; or y est la proba-bilité que x est le résultat vrai; la somme des erreurs à craindre,abstraction faite du signe, multipliées par leur probabilité, estdonc, pour toutes les valeurs de x moindres que /, fil — x) .y dx',l’intégrale étant prise depuis a/=o jusqu’à x'=l. On verra de lamême manière que, pour les valeurs de x' supérieures à / , lasomme des erreurs à craindre, multipliées par leur probabilité,est f[x — l).y'dx, l’intégrale étant prise depuis x'=l jusqu’àl’abscisse x correspondante à la dernière extrémité de la courbe;la somme entière des ei’reurs à craindre, abstraction faite du signe,et midtipliées par leurs probabilités respectives, est donc

f(i-x).ydx'-+-f(x-i).ÿdx.

La différentielle de cette fonction, prise par rapport à l, est

dl. fy dx — dl.fydx;

car on a la différentielle de /’(/—x ).y'dx, en différentiant d’abord