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IT. Teil: Wissenschaftliche Vorträge.

Funktionen, deren singuläre Punkte eine perfekte Menge bilden, einenirreducibeln Charakter. Die Funktionen dieser Art lassen sich übrigensnoch auf eine andere Weise charakterisieren. Irgend ein singulärerPunkt kann nämlich entweder Grenzstelle von singulären Punkten seinoder nicht. Im letzteren Falle heifst der singuläre Punkt „isoliert“.Und nun sind die in Rede stehenden Funktionen keine anderen alssolche, welche isolierte singuläre Punkte überhaupt nicht besitzen.

Bei der analytischen Darstellung der eindeutigen Funktionen trittein zuerst von Weierstrafs bemerkter Umstand zu Tage, den ich kurzberühren will, da sich auf ihn eine grofse Zahl neuerer Arbeiten be-zieht. Es liegt die Vermutung nahe, dafs eine konvergierende Reihe,deren Glieder rationale Funktionen sind, immer eine einzige analytischeFunktion definiert. Dem ist aber nicht so; vielmehr giebt es derartigeReihen, welche in verschiedenen Gebieten gänzlich verschiedene ana-lytische Fimktionen darstellen. 12 )

Eine andere ebenfalls von Weierstrafs zuerst bemerkte Thatsachefolgt unmittelbar aus dem vorhin erwähnten Satze, nach welchem zujedem Kontinuum eindeutige analytische Fimktionen gehören. Ichmeine die Thatsache, dafs es Funktionen mit natürlichen Grenzengiebt, d. h. solche Funktionen, deren Stetigkeitsbereich mit den seineBegrenzung bildenden singulären Punkten die Zahlenkugel nicht völligbedeckt. Aus didaktischen Gründen ist es wünschenswert, einfacheBeispiele solcher Fimktionen zu besitzen. Diesem Bedürfnisse kommteine ganze Reihe von Arbeiten nach, die sich zum grofsen Teil aufeine besondere Klasse derartiger Funktionen beziehen. 13 ) Man be-trachte eine Potenzreihe mit endlichem Konvergenzradius, die eineüber ihren Konvergenzkreis hinausreichende Fortsetzung nicht besitzt.Der Stetigkeitsbereich der Fimktion, die durch eine solche Potenzreihedefiniert ist, wird offenbar durch das Innere des Konvergenzkreisesgebildet; die singulären Punkte der Funktion sind die Punkte auf derPeripherie des Konvergenzkreises. Man hat sich übrigens nach denArbeiten, welche diese Potenzreihen betreffen, die Vorstellung zu bilden,dafs in gewissem Sinne die über den Konvergenzkreis hinaus fort-setzbaren Potenzreihen die Ausnahme, die nicht fortsetzbaren dieRegel bilden. 14 )

Doch kehren wir zu der Klassifikation der eindeutigen analytischenFunktionen zurück. Nachdem dieselben nach der Beschaffenheit derPimktmenge eingeteilt sind, welche von den singulären Punkten gebildetwird, liegt es nahe, als weiteres Einteilungsprinzip das Verhalten derFunktionen in der Nachbarschaft der singulären Punkte heranzuziehen.Die erste Frage, welche sich hier darbietet, ist die: welches sind die