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Bewegun g.

d 4 x d 4 y d 4 z

2 dx-l~2dy- {-2 dz ==2(Xdx-}-Ydy + Zd z )

dt* dt* dt* V '

oder aber

d (d x 4 + d y 4 4"dz 4 )dt*

= 2 (Xdx + Ydy + Zdz).

Wird statt der Quadrate der Differentiale der Ausdruck fiirdie Geschwindigkeit gesetzt 1 und integrirt, so erhält man:ds 4

-—= v 4 = 2 /(Xdx + Ydy+Zdz).

Der einfachste Fall ist auch hierbei, wenn die beschleuni-genden Kräfte X, Y, Z aufhören, oder = 0 werden, wo-durch v 4 =Const. wird. Also wird auch ein, in einer gege-benen Curvc sich bewegender Körper ohne beschleunigendeKräfte eine gleiclnnäfsige Bewegung stets bcibchalten.

Wirkt dagegen auf den bewegten Körper nur eine be-schleunigende Kraft, (cs scy dieses die Schwere), so istXzzo,Y = 0, Z = g, und wir erhalten

v 4 = 2/gdz = 2 gz -f C.

Ist v = V wenn z = 0 wird, so ist V 4 = C, also v 4 =2 gz-{-V 4 , oder v = ^ 2 gz + V 2 , welche Gleichung unab-hängig von x, y und z ist, mithin für jede Curve statt fin-den kann.

Die hier gefundene Gleichung fiir die Geschwindigkeiteines in einer gegebenen Curve bewegten Körpers genügt in-defs nicht, um den zurückgelcgten Raum oder die hierzu cr-

d s

forderliche Zeit zu bestimmen» Denn setzt man-

dt

= /agz + V z oder

yf d x 4 + dy 2 -t-dz 4dt 4

= / 2gz+V z ,

so hat man eine Relation zwischen drei veränderlichen Grös-sen. Wären aber die Gleichungen für die Curve2 = f O, y) i 2 = cp (x, y)

und könnte man hierdurch zwei veränderliche Gröfsen eli—miniren, so hätte man eine Gleichung zwischen dt und einerCoordinate der krummen Linie zu integriren.

1 S. oben unter I. am Ende,