i5o ÉLÉMENS

ne peut pas dire des autres vérités sur la mesure et le rapportdes angles ; car, outre qu’elles dépendent de la premièrê, elles de-mandent, pour être aperçues, un peu plus de combinaisond’idees.

A l’égard de la proposition sur l’égalité des trois angles d’untriangle à deux droits , je la regarde comme un principe du se-cond ordre ; comme un principe , parce qu’elle est la base et lasource d’un grand nombre de vérités de détail ; et comme dusecond ordre, parce qu’elle a au-dessus d’elle d’autres véritésdont elle dérive.

Après avoir formé cette première branche au-dessous duprincipe de la superposition, qu’on peut regarder comme letronc, on en établira une autre partant du même tronc. Ellecontiendra d’abord les propositions sur les parallèles et surl’égalité des triangles qui ont certains angles et certains côtéscommuns ; proposition dont la preuve naît immédiatement duprincipe de la superposition. Celles-ci conduiront à la propo-sition sur l’égalité des parallélogrammes de même base et demême hauteur , qui sera , ainsi que la proposition sur l’égalitédes angles du triangle à deux droits, un principe du secondordre, par la quantité de propositions qui en dérivent; entreautres toutes les vérités sur la comparaison des triangles et desfigures rectilignes, et même du cercle avec ces figures.

Les propositions sur les parallèles, et celles qui ont pour objetl’égalité des triangles , conduisent, étant réunies entre elles, àun autre principe fondamental du second ordre , le plus fécondpeut-être de toute la géométrie élémentaire , c’est celui des côtésproportionnels des triangles semblables , qui est la base de tantd’autres théorèmes. Il faut cependant remarquer que ce jirincipepour être démontré, a besoin d’emprunter quelque chose d’uneautre science, de celle des proportions , qui n’appartient pas im-médiatement à la géométrie, mais à la science des propriétésde la grandeur en général, qu’on a nommée algèbre. On voitpar là , pour le dire en passant , combien est peu fondée la pré-tention de ceux qui veulent exclure l’algèboe de la géométrieélémentaire : aussi sont-ils forcés de l’y admettre sous une formeau moins déguisée, dans les démonstrations qui dépendent desproportions, et dans plusieurs autres ; à moins que ces mathé-maticiens ne s’imaginent avoir évité l’algèbre , quand ils ontmis dans une démonstration de grandes lettres au lieu de petites.

Les propositions sur l’égalité des triangles qui ont leurs côtéset leurs angles égaux, combinées avec quelques unes de cellessur la comparaison des angles, peuvent conduire à un nouveauprincipe fondamental du second ordre, non moins fécond queles précédens ; c’est celui du carré de l’hypoténuse du triangle