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Or la géométrie des courbas demande nécessairement l’usagede l’algèbre. Ainsi le premier pas qu’on doit faire dans cettescience, est l’explication des principes sur lesquels est appuyéel’application de l’algèbre à la géométrie. {Voyez Eclaircissement,§ XIII, pag. 285.) C’est par où l’on doit commencer au sortir desélémens , parce que c’est alors que l’algèbre commence à rendreles démonstrations et les solutions plus faciles. Nous n’ignoronspas néanmoins qu’il y a plusieurs recherches dans la géomé-trie des courbes , où l’on peut absolument se passer de l’analysealgébrique ; nous n’ignorons pas même avec combien d’élogesde très-grands géomètres ont parlé de l’utilité qu’on peut tirerde la méthode des anciens dans ces mêmes recherches, pourdonner plus d’exercice à l’esprit et plus de rigueur aux démons-trations. Mais leurs raisons ne nous paraissent pas fort solides.En premier lieu , n’y a-t-il pas en géométrie assez de difficultésnaturelles à vaincre pour ne pas en faire naître d’inutiles ? Aquoi bon user toutes les forces de son esprit sur des connaissancesqu’on peut acquérir avec moins de peine ? Les propriétés de laspirale, que de très-grands mathématiciens n’ont pu suivre dansArchimède, se démontrent d’un trait de plume par l’analyse ;serait-il raisonnable de consumer un temps précieux à suivreavec fatigue dans Archimède ce qu’il est si facile d’apprendreailleurs? A l’égard de l’avantage qu’on veut donner aux dé-monstrations faites à la manière des anciens , d’être plus rigou-reuses que les démonstrations algébriques , cette prétention nenous paraît guère mieux établie. La dénomination algébrique,il est vrai , a cela de particulier, que quand on aura désignétoutes les lignes des figures par des lettres , on pourra faire , aumoyen de ces lettres, beaucoup d’opérations et de combinaisonssans songer à la figure, sans l’avoir même devant les yeux;mais ces opérations même , toutes machinales qu’elles sont, ouplutôt parce qu’elles sont purement machinales , ont l’avantagede soulager l’esprit dans des recherches souvent très-pénibles ,et pour lesquelles il a besoin de tous ses efforts ; l’analyse luiménage , autant qu’il est possible, des inslans nécessaires de dé-lassement et de repos; il suffit de savoir que les principes ducalcul sont certains; la main calcule en toute sûreté , et parvienlenfin à un résultat auquel sans ce éecours on ne serait pointparvenu , ou auquel on ne serait arrivé qu’avec beaucoup depeine. Mais il ne tiendra qu’à l’analyste de donner ensuite à sadémonstration ou à sa solution la rigueur prétendue qu’on croitlui manquer ; il lui suffira pour cela de traduire cette démons-tration dans le langage des anciens , comme Newton a fait laplupart des siennes. Nous conviendrons sans peiné que l’usage