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soit le plus court? Pourquoi ne pourrait-il pas y en avoir plu-sieurs, tous différens,tous égaux, et tous les plus courts? On n’estpersuadé de la vérité contraire, et on ne la suppose dans la défini-tion de la ligne droite, que parce qu’on a déjà dans l’esprit ouplutôt dans les sens, si je puis parler de la sorte, une notion de laligne droite qui renferme implicitement cette vérité. C’est cettenotion qu’il faudrait exprimer; mais les termes, et peut-être lesidées, nous manquent pour cela. Hoc opus, hic labor est.

En second lieu, supposons qu’en effet la ligne droite soit le pluscourt chemin d’un point à un autre,que ce plus court cheminoit unique, et qu’il n’y en ait pas deux égaux; je vois clairementcomment on peut conclure de là, que si on veut mener une lignedroite d’un point à un autre, tous les points par lesquels doit passercette ligne, sont nécessairement donnés, et que la ligne qui jointdeux quelconques de ces points, est aussi la plus courte qu’onpuisse mener ou imaginer de l’un à l’autre. Mais je ne vois pasavec la même évidence, en partant de la définition supposée,qu’une ligne droite, tirée par deux points , ne puisse être pro-rlongée que d’une seule manière , ou ce qui revient au même,que deux lignes droites, tirées d’un même point à deux autrespoints , ne puissent pas avoir une partie commune : je ne dis pasque cela ne soit évident, je dis (et je me flatte qu’on en con-viendra après y avoir fait attention ) que cela ne suit pas évidem-ment de la définition supposée, mais d’une notion primitive de laligne droite que nous avons dans l’esprit, sans pouvoir en quel-que façon la rendre par des expressions ; idée dont la définitionsupposée n’est que la suite.

La définition et les propriétés de la ligne droite , ainsi que deslignes parallèles, sont donc l’écueil, et, pour ainsi dire, le scan-dale des élémens de géométrie. Je ne crains point que les ma-thématiciens philosophes taxent de puérilité les réflexions queje viens de faire, puisqu’elles ont pour objet, non-seulementde porter la plus grande précision dans une science dont la pré-cision est l’âme , mais de montrer par des exemples frappans lanécessité et la rareté des bonnes définitions.

On peut faire sentir l’un et l’autre par un nouvel exemple,tiré des mêmes élémens de géométrie, par la définition de l’angle.Pour s’en former une idée nette, il faut nécessairement, et yfaire entrer l’idée de l’espace que l’angle renferme, et en mêmetemps borner cet espace ; puisque autrement la grandeur del’angle dépendrait de celle des lignes qui le comprennent, cequi est contraire à la vraie notion qu’on doit s’en former. Il fautdonc supposer un arc de cercle décrit du sommet de l’anglecomme centre, et d’un rayon pris à volonté, mais qui soit tou-