s8a ÉLÉMENS

penser de toutes les discussions métaphysiques qui partagentquelquefois les mécaniciens et les géomètres.

Si on doit s’attacher , dans les élémens de géométrie , à nemettre dans les définitions que ce qui est nécessaire , pour donnerplus de précision et de rigueur aux propositions qu’on en déduit,il est un autre écueil qu’on doit éviter avec soin; c’est celui dene pas développer suffisamment l’idée qu’on doit attacher à cer-taines expressions. La géométrie, même élémentaire, et toutesles parties des mathématiques font souvent usage d’expressionsde cette espèce, qui dans le sens métaphysique qu’elles présentent,paraissent d’ahord peu exactes , mais qui ne doivenf être regar-dées que comme des manières abrégées de s’exprimer, que lesmathématiciens ont inventées pour énoncer une vérité dont ledéveloppement et l’énoncé exact auraient demandé beaucoupde mots. Il faut donc, avant que de faire usage de ces expres-sions, fixer d’une manière nette et précise la notion qu’elles ren-ferment.

On dit, par exemple, qu’un parallélogramme est le produitde sa base par sa hauteur. Que signifie cette proposition ?Qu’est-ce que le produit de la base par la hauteur , c’est-à-dire,la multiplication d’une ligne par une autre ? Est-ce qu’on mul-tiplie des lignes par des lignes? Non certainement; car danstoute multiplication, une des deux quantités au moins doit êtreun nombre abstrait; multiplier, c’est prendre un certain nombrede fois une certaine chose ou un certain nombre de choses ; onpeut multiplier une ligne par un nombre , par exemple par 3,ce qui signifie qu’on prendra cette ligne trois fois , mais onne multiplie point une ligne par une ligne ; cette opération neprésente aucune idée nette. Quelques mathématiciens, il estvrai, ont dit que la multiplication d’une ligne par une ligneconsistait à prendre une de ces lignes autant de fois qu’il y a depoints dans l’autre, ce qui produit une surface. Mais cettenotion est sujette à beaucoup de difficultés. Elle suppose que lasurface est composée de lignes, et la ligne de points ; elle Sup-pose que pour prendre une ligne autant de fois qu’il y a depoints dans une autre, il faut que cette autre ligne soit éleveeperpendiculairement sur la première : car si le côté d’un paral-lélogramme n’est pas perpendiculaire à la base , alors le pa-rallélogramme n’est plus le produit du côté par la base ; cepen-dant, suivant les notions que se forment de la surface lesmathématiciens que nous combattons, on ne peut disconvenirque dans la surface du parallélogramme la base ne se trouverépétée autant de fois que le côté a de points ; à moins qu’on neveuille admettre dans une ligne des points plus grands les uns