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nombres qui multipliés par eux-mêmes produisent un nombreaussi approchant de 2 qu’on voudra, soit en dessus, soit endessous. Or si on a deux nombres quelconques, dont l’un donneun carré plus grand que 2 , mais avec si peu de différence qu’onvoudra, et l’autre un carré plus petit que 2 , avec si peu dedifférence qu’on voudra, une ligne qui aurait avec le côté ducarré un rapport exprimé par le premier de ces nombres,serait toujours plus grande que la diagonale, et une ligne quiaurait avec le même côté du carré un rapport exprimé par lesecond nombre, serait plus petite que la même diagonale. Voilàle développement de cette proposition , que la diagonale est aucôté du carre comme la racine carrée de 2 est à 1 . Il en est demême de toutes les autres propositions qui regardent des rap-ports incommensurables ; et cela suffit pour faire voir quel sensprécis on y doit attacher.

Cette facilité qu’on a de représenter les rapports incommen-surables, non par des nombres exacts, mais par des nombresqui en approchent aussi près qu’on voudra, sans jamais expri-mer rigoureusement ces rapports, est cause que les mathéma-ticiens ont étendu la dénomination de nombre aux rapportsincommensurables , quoiqu’elle ne leur appartienne qu’impro-prement, puisque les mots nombre et nombrer supposent unedésignation exacte et précise, dont ces sortes de rapports 11 e sontpas susceptibles. Aussi n’y a-t-il proprement que deux sortesde nombres, les nombres entiers comme 2,3,4, etc., et lesnombres rompus, ou fractions, comme 4, f, ?» etc -, ou f » +, f» etc.Les premiers représentent les rapports de deux grandeurs, dontl’une contient l’autre une certaine quantité de fois exactement,comme 2 fois, 3 fois, [\ fois ; les seconds expriment le rapportde deux grandeurs, dont l’une contient exactement une certainequantité de fois, la moitié, le tiers, le quart, le cinquième del’autre , et ainsi de suite ; les rapports représentés par desnombres rompus peuvent même se réduire très-aisément à desrapports représentés par des nombres entiers ; car quand je dis,par exemple, qu’une ligne est les j d’une autre ligne, c’estcomme si je disais que la première ligne est à la seconde dans lerapport du nombre entier 3 au nombre entier 4-

De là il est aisé de voir que si les rapports incommensurablessont regardés comme des nombres, c’est par la raison que s’ilsne sont pas des nombres proprement dits, il ne s’en faut rien ,pour ainsi dire, qu’ils n’en soient réellement; puisque la diffé-rence d’un rapport incommensurable à un nombre proprementdit, peut être aussi petite qu’on voudra.

Deux autres raisons ont fait ranger les rapports incommen-