286 ÉLÉMENS

Ces rapports peuvent être, ou exprimes par des nombres , ouincommensurables.

Le rapport des surfaces, ou pour abréger, les surfaces mêmes,peuvent être représentés , comme nous l’avons expliqué plushaut, par le produit de deux lignes , en regardant ces lignescomme exprimées par des nombres qui en indiquent le rapport.

Il n’est pas même nécessaire que le rapport de ces lignes soitcomtnensurable ; et quel qu’il soit, le produit des quantités quiexpriment ce rapport représentera la surface.

De même et par la même raison un solide ou corps géomé-trique , ayant les trois dimensions , peut être représenté par leproduit de trois lignes , c’est-à-dire de trois quantités, dont lerapport soit le même que celui de ces lignes.

Or les caractères algébriques désignant également bien , soitles nombres , soit les rapports incommensurables, comme on l’avu ci-dessus , ces caractères peuvent servir parfaitement à re-présenter les lignes , en sorte que le produit de deux caractèresalgébriques peut exprimer une surface , celui de trois unsolide, etc.

Par conséquent les opérations qu’on pourra faire sur ces ca-ractères , les rapports qu’on y découvrira, en un mot les véritésqu’on pourra tirer de leur combinaison par des opérations algé-briques , exprimeront , étant traduites du langage algébriqueen langage géométrique , des vérités qui seront relatives aurapport des lignes , des surfaces et des solides.

Par la même raison , les opérations algébriques qui servent àrésoudre les questions qu’on peut proposer sur les nombres ,serviront aussi à résoudre les questions géométriques qu’on peutproposer sur le rapport des lignes, des surfaces et des solides;et par conséquent en général à résoudre la plupart des questionsqui ont rapport à cette science. En effet, ces questions étantanalysées , se réduisent pour l’ordinaire à trouver certains rap-ports entre certaines lignes, certaines surfaces, certains solides;puisque la plupart des propriétés des figures consistent, ou dansle rapport qu’il y a entre quelques unes de leurs parties, déter-minées d’une certaine manière , ou dans le rapport de certaineslignes tirées dans ces figures , ou dans le rapport de ces figures,prises dans leur entier ou par parties, avec d’autres figures aussiprises dans leur entier ou par parties , et ainsi du reste.

Toutes ces considérations suffiraient pour faire sentir l’usageet l’utilité de l’application de l’algèbre à la géométrie. Mais ilest surtout une branche de cette science, où l’analyse algébriqueest extrêmement utile ; c’est la théorie des courbes.

Pour s’en convaincre, il faut considérer d’abord la manière