DE PHILOSOPHIE. 289

dans cette suite, plus la somme de ces nombres approchera d’êtreégale à 1 , et quelle pourra en approcher aussi près qu'onvoudra. Cette dernière condition est nécessaire pour compléterl’idée attachée au mot limite. Car le nombre 2, par exemple,11’est pas la limite de la somme de celte suite, parce que, quelquenombre de termes qu’on y prenne, la somme à la vérité appro-chera toujours de plus eu plus du nombre 2 , mais 11e pourraen approcher aussi près qu’on voudra, puique la différence seratoujours plus grande que l’unité.

De même quand on dit que la somme de cette suites, 4 ,8,16, etc.ou de toute autre qui Va en croissant, est infinie . on veut direque plus on prendra de ternies de cette suite , plus la sommeen sera grande , et qu’elle peut être égale à un nombre aussigrand qu’on voudra.

Telle est la notion qu’il faut se former de Vinfini, au moinspar rapportai! point de vue sous lequel les mathématiques le con-sidèrent ; idée nette , simple , et à l’abri de toute chicane.

Je 11’examine point ici s’il y a en effet des quantités infiniesactuellement existantes ; si l’espace est réellement infini ; si ladurée est infinie ; s’il y a dans une portion finie de matière unnombre réellement infini de particules. Toutes ces questionssont étrangères à l’infini des mathématiciens, qui n’est absolu-ment , comme je viens de le dire , que la limite des quantitésfinies ; limite dont il 11’est pas nécessaire en mathématiques desupposer l’existence réelle ; il suffit seulement que le fini 11’y at-teigne jamais.

La géométrie , sans nier l’existence de l’infini actuel, ne sup-pose donc point, au moins nécessairement, l’infini comme réel-lement existant ; et cette seule considération suffit pour résoudreun grand nombre d’objections qui ont été proposées sur l’infinimathématique.

On demande , par exemple , s’il 11’y a pas des infinis plusgrands les uns que les autres, si le carré d’un nombre infinin’est pas infiniment plus grand que ce nombre? La réponse estfacile au géomètre : un nombre infini n’existe pas pour lui, aumoins nécessairement; l’idée de nombre infini n'est pour luiqu’une idée abstraite, qui exprime seulement une limite intel-lectuelle à laquelle tout nombre fini n’atteint jamais.

Quand on parle en géométrie d’infinis du second et In troi-sième ordre , il est aisé d’attacher des notions nettes à cesexpressions , sans se jeter dans une métaphysique obscure etcontentieuse. Si on dit, par exemple , lorsque telle ligne devientinfinie, telle autre ligne qui en dépend est infinie du secondtirdre, cela signifie que le rapport de la seconde ligne à la pre-!• 19