45a SUR LE CALCUL
Pour m’expliquer de la manière la plus précisé , voici le pointde la difficulté que je propose.
Le calcul des probabilités est appuyé sur cette supposition »que toutes les combinaisons différentes d’un même effet sontégalement possibles. Par exemple , si on jette une pièce en l’aircent fois de suite, on suppose qu’il est également possible quepile arrive cent fois de suite , où que pile et croix soient mêlés,en suivant d’ailleurs entre eux telle succession particulière qu’onvoudra; par exemple, pile au premier coup, croix aux deuxcoups su^vans , pile au quatrième , croix au cinquième , pile ausixième, #u septième , etc.
Ces deux cas sont sans doute également possibles , mathémati-quement parlant ; ce n’est pas là le point de la difficulté, et lesmathématiciens médiocres dont, je parlais tout à l’heure ont prisla peine fort inutile d’écrire de longues dissertations pour prouvercette égale possibilité. Mais il s’agit de savoir si ces deux cas,egalement possibles mathématiquement, le sont aussi physique-ment et dans l’ordre des choses ; s’il est physiquement aussi pos-sible que le même effet arrive cent fois de suite, qu’il l’est quece même effet soit mêlé avec d’autres suivant cette loi qu’onvoudra marquer. Avant que de faire là-dessus nos réflexions,nous proposerons la question suivante, très-connue des algé-Lristes.
Pierre joue avec Paul à croix ou pile , avec cette condition quesi Paul amèneyu/eau premier coup, il donnera un écu à Pierre;s’il n’amène pile qu’au second coup, deux écus ; s’il ne l’amènequ’au troisième, quatre écus ; au quatrième , huit écus ; au cin-quième , seize; et ainsi de suite jusqu’à ce que pile vienne ; ondemande l’espérance de Paul, ou ce qui est la même chose , cequ’il doit donner à Pierre avant que le jeu commence , pourjouer avec lui à jeu égal, ou, comme on s’exprime d’ordinaire,pour son enjeu.
Les formules connues du calcul des probabilités font voiraisément, et tous les mathématiciens en conviennent, que siPierre etPaul ne jouent qu’en un coup, Paul doit donner à Pierreun demi-écu; s’ils ne jouent qu’en deux coups, deux demi-écus,ou un écu ; s’ils ne jouent qu’en trois coups, trois demi-écus ;en quatre coups , quatre demi-écus, etc. D’où il est évident quesi le nombre des coups est indéfini, comme on le suppose ici ,c’est-à-dire si le jeu ne doit cesser que quand pile viendra , ce quipeut mathématiquement parlant n’arriver jamais, Paul doitdonner à Pierre une infinité de fois un demi-écu , c’est-à-direune somme infinie. Aucun mathématicien ne conteste celte con-séquence ; mais il n’en est aucun qui ne sente et n’avoue que le