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§. 4. Seine Logik.

die Phantasiegebilde der im Delirium sich befindenden, die Täu-schung, die ein Gemälde hervorbringt, indem man Körper zu sehenglaubt, während es doch nur ebene Figuren sind, optische Täu-schungen, Gloichklang der Worte u. a. Beispiele für den nachtheiligenEinfluss der imaginatio auf die Erkenntniss der Wahrheit liefert vonrationalen Dingen u. a. die Methode, mittels welcher Cavalieri dieGleichheit des Flächeninhalts eines Rechtecks und eines Parallelo-gramms von gleicher Grundlinie und Höhe bewiesen hat. Derselbeurtheilt nämlich so: Beide Figuren (Fig. 16) können als aus unend-lich vielen Querschnitten JK, LM bestehend angesehen werden; danun diese gleich sind, so müssen auch die Flächen gleich sein. Beider Anwendung dieses selben Princips auf Curven und Körper habensich nun Widersprüche gezeigt, die auch Cavalieri nicht zu lösenvermochte. Und in der That, man könnte ebenso gut auch schlies-sen: Die Linien AD und EH bestehen aus Punkten, Punkt J istgleich Punkt L, also auch Linie AD=EH, und also der Umfang(„superficies”) des Rechtecks gleich dem des Parallelogramms, wasabsurd ist. Der Fehler liegt nach Tsehirnhaus darin, dass Ca-valieri Flächen aus Linien zusammengesetzt annimmt, denn Linienkönnen nur aus Linien, Flächen nur aus Flächen zusammengesetztwerden. Es musste also so geschlossen werden: Beide Figuren kannman als aus unendlichen vielen und unendlich kleinen Flächen abdcund eghf bestehend betrachten. Diese haben gleiche Grundlinie undHöhe und sind also an Fläche gleich, folglich auch die ganzen Flä-chen. Cavalleri’s Schluss führt hier nur zufällig zu einem richtigenResultate, da sich abdc und eghf verhalten wie cd und fh. EtwasAehnliches erinnert Tsehirnhaus über einen von der ArchimedeischonSpirale bekannten Satz. Es ser (Fig. 17) ABCDEFGHJ eine solcheSpirale, und man halbire zunächst die ganze Umdrehung, dannwieder jeden der beiden gestreckten Winkel EAJ, sodann jeden dervier entstehenden rechten Winkel, dann jeden der acht so erhaltenenWinkel u. s. w., so dass man unendlich viele unendlich kleineWinkel erhalte, und beschreibe dann die Kreisbögen BK, CL, DM,EN, FO, GP, HQ, so wird daraus geschlossen, da die Summe dieserBögen, je mehr man ihrer nimmt, immer grösser wird, und dieBögen sich immer mehr der Spirale näheren, so sei die Länge desin Rede stehenden Stückes der Spirale gleich der halben Peripheriedes Kreises. Dieser Schluss ist nach Tsehirnhaus falsch '). Dennes kommen drei Sätze („positiones”) hier in Betracht, erstens, dass

*) Seiner Meinung nach würde er nur dann gerechtfertigt sein, wenn Fol-gendes stattfände: Medic. Ment. pag. 173: „Circumscribantur enim e. gr. spirali& semiperipkeriae tangentes. Si tune posset ostendi, spirali tangentes aB, bC,cD, dE &c. aequari tangentibus semiperipkeriae io, kg, lg, mi (dies soll heissenmJ) &c., & hoc seniper beri continuatä biseetione tali, quousque velis, recte bincconcludes, spiralem semiperipkeriae aequari. Hoc autem (nolo enim bic nimiaprolixitato taediosior fieri) si quis bene inspicere dignabitur, yidebit, binc esseconcludendum, spiralem multö majorem esse semiperipheriä, non aequalem, ut illivolebant”.