154

§. 9. Seine Brennlinien.

AB sei x, BL, die Ordinate und zugleich ein einfallender Lichtstrahl,sei y, BC = LN sei Ax, LD die Normale in L, ME die Normale in M,LJ der von L, MJ der von M reficetirte Strahl, J ihr Durchschnitts-punkt. Da nun der reflectirte Strahl unter demselben Winkel zurück-geworfen wird, unter welchem der einfallende auftrifft, so mussZ DLE = Z DLB, Z EMG = Z EMC sein, also, da DLB, EMCbezüglich dem Winkel gleich ist, welchen die Tangente in L, M mitder Abscissen-Axe macht, wenn ersterer durch r, letzterer durch %bezeichnet wird, ist /_~BL F = 2t, Z CMG = 2t'. Ngn ist tang.LFG = tang.(90° + 2r) ==— cotang.2r, tang.MGH = — cotang-2t, folglich sind die Gleichungen der Geraden LJ, MJ bezüglich:= — cotang . 2r . §t a,; r l2 = — cotang . 2r'. S 2 + a*-

Da ferner für r iX — o, £, = x -f- BF = x + y tang. 2r, und fürr; 2 = °>g 2 = (x + Ax) + (y + Ay)tang . 2r' sein muss, so lassen sich a!und a 2 leicht bestimmen, und man hat als Gleichungen für LJ, MJi] x = — cotang . 2 t . §i + x . cotang . 2r -j- y% — — cotang . 2r. g 2 + (x + Ax) . cotang . 2r' + (y + Ay)-Nach dem bekannten Lehrsatz, dass, wenn die Gleichungen zweierGeraden r\ x = A, £, + C,, r t2 — A. 2 £ 2 + C 2 sind, die Abscisse ihres^2 Cj -_ E 2 A 2 Ci

Durchschnittspunkts:

, die Ordinate desselben:

ist, hatWerthe

man als Coordinaten g, tj des Durchschnittspunktes J die

-._ (x + Ax) ■ cotang. 2t' + (y + A y) — x. cotang. 2t — y

5 —cotang. 2t+cotang. 2r'

V-

-cotang . 2 r[(x+Ax)cotang .2t'+(y+Ay)] +cotang2t'fx cotang. t+y ]— cotang. 2t + cotang . 2t'

oder

— cotang.2t[(x+Ax)cotang.2t'+ (y+ Ay)]+cotang.2t'[x cotang.2t+y]

_ + cotang. 2t[x cotang. 2t+y] — cotang. 2r[x cotang. 2t+y]

^ — cotang . 2t -f cotang ,2t' ~ ’

Offenbar können wir auch schreiben:

g_ A [x cotang . 2t + y]

A [cotang . 2t]

q — [xcotang. 2 t+ y] • A [cotang . 2t] — cotang . 2r . A [x cotang . 2ijfy].

A [cotang. 2r]

Dividiren wir in beiden Werthen Zähler und Nenner durch A x un< ^gehen zur Grenze für verschwindende Ax über, so ergiebt sich, da

cotaDg . 2r =

1 — tang 2 t2 tang . t

dx

ist,