§. 9. Seine Brennlinien.

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t)

Man hat also als Coordinaten des Punktes J die Werthe:

d*y dy „ d 2 y _ fZY

•c __ dx 2 'dx ^dx 2 + Ldx^

d 2 y ’ ^ TcPy ~

dx 2 Z dx 2

Suchen wir jetzt die Länge LJ, um den erhaltenen Werth mit demvon Tschirnhaus gegebenen zu vergleichen, so ist (unserer Figur nach)LJ = FJ LF. Es ist aber

FJ 2 =,2 + (§—'BF—x ) 2 =i ] 2 + (?-

°der, vermöge der Werthe von § und r h

r <Py_dy

"dx 2 dx

,d 2 y I ’ 1 ' I Üy'

'dx 2 J L dx 2

FJ a =

2y|l + 1—

,Vj~

'dx 2

_ ■'dx 2

-dy-

.dx'_

H'

1

-y tang 2r— x) 2

-y ■

'dx

1

'dr

^dx„

■I

(Fy_ dy

dy"V dfy—12

dy (Fy <Py

(Sy-s+ßor-*

dx 2 dx

dx dx 2

S!>-(!)']

^g+'-CST i-

dy d?yi 2

vg+1 ~ GO’t, G9'I>S+ 1 - C|J]

2 jH+i

i' crr i

^S+‘-(äD' L+©

also FJ

ferner ist LF 2 = y 2 + BF 2 = y 2 + y 2 tang 2 . 2r = y 2 (l +tang 2 . 2t),oder