m

§. 9 . Seine Brennlinien.

oder endlich LJ = p = -

(oy 2 + 2dye — d 2 o)(y 2 -j~ b' 2 )

L J = p == ;

t)

— 2d(y + e)(y 2 — b 2 J -f 2by(y 2 + 2ye — d 2 )'

Yergleichen wir dies mit dem von Tschirnhaus aufgestellten Werthe(s. pag. 162):

(oy 2 + 2dey — d 2 o)(y 2 + b 2 )

' (dy—by—be)(—2y 2 —2ey— 2bd)’

so sieht man, dass die Zähler beider Brüche identisch sind. DieNenner scheinen zwar auf den ersten Anblick yerschioden, führtman aber die in ihnen angedeuteten Multiplicationen aus, so erhältman

— 2d(y + e)(y 2 — b 2 ) + 2by(y 2 + 2ye —d 2 )

= 2 . [— dy 3 — dy 2 e + b 2 dy -)- b 2 de + by 3 -}- 2by 2 e — bd 2 y]

und (dy — by — be)(—2y 2 — 2ey — 2bd

= 2 [—dy 3 —dy 2 e+b 2 dy+b 2 de+by 3 +by 2 e—bd 2 y+by 2 e+byc 2 ]= 2 [— dy 3 — dy 2 e + b 2 dy + b 2 de + by 3 + 2by 2 e — bd 2 y + bye 2 ].

Beide Nenner stimmen also überein, nur enthält der von Tschirnhausaufgestellte noch das Glied: + bye 2 ; da dies aber mit e 2 behaftetist, ist es zu vernachlässigen, und Tschirnliausens Werth ist alsoderselbe, wie der oben gefundene. Wir vergleichen schliesslich nochTschirnliausens Formel f) mit der oben (s. pag. 161) 2) A) auf-gestellten, da er dieselbe Lage der reflectirenden Curve und derCaustica voraussetzt, wie dort geschehen ist. Wir haben zu demZwecke offenbar statt o zu setzen: dx, statt e: dy, statt b die Sub-(lv

normale, also y^, statt d die Subnormale, die zu einem dem PunkteL unendlich nahe liegenden, M, gehört, also die Subnormale b ver-mehrt um das Differenzial derselben, also statt d: yjj^ -f-

und endlich sind alle mit Potenzen von dx oder dy, oder mit Pro-dukten aus dx und dy behafteten Glieder zu vernachlässigen. Esist also:

T T _ _ (oy 2 + 2dey — d s <0(y^+V>_

P (dy—by—be)(— 2y ! —2ey—2bd)

iw.++«(d;)]’ü>'

l’K+«(4)]

‘(dl) »«£+»©

oder, da

dx

dx

.dy|S-2y 2 -2ydy-2y^[y^

~ (a v

U x)

ist, p =

Jy”-dx + 2ydy[:

i . d 2 y ,dx + y d ^.dx

dy , /dy\ 2 ,y dx +

Führt man die angedeuteten Multiplicationen aus, so erhält man: