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§. 9. Seine Brennlinien.

Man sieht also auch auf diese Weise, dass Tschimhausens Werthfür LJ oder p richtig ist. TJm nun diese Formel an einem concretenBeispiel anzuwenden, muss nach Tschirnhaus das Yerhältniss von ozu e ermittelt werden. Hiefür giebt er folgende Regel: Man bringein der gegebenen Gleichung alle Glieder mit y auf die eine, alleGlieder mit x auf die andere Seite; auf ersterer multiplicire mannun jedes Glied mit dem Exponenten von y und dividire es sodanndurch y (d. h. man erniedrige den Exponenten um die Einheit),auf der anderen Seite verfahre man ebenso mit den das x enthal-tenden Gliedern, dann verhält sich o : e wie die das y enthaltendeSeite der so gebildeten Gleichung zur anderen. Als Beispiel führtTschirnhaus an: Die Gleichung der reflectirenden Curve sei:

y 3 + axy = a 3 + x 2 y -)- x 3 + ax 2 .

Hieraus bildet nun Tschirnhaus die Gleichung:

x 3 + oxy — x 2 y = x 3 -f- ax 2 — axy.

Das Glied a 3 fehlt in derselben gänzlich, als weder x noch y ent-haltend, dagegen kommt das Glied axy zweimal vor, da es sowohlx als y enthält. Werden nun in der letzten Gleichung beide Seitenbezüglich mit den Exponenten von y und x multiplicirt und danndie Exponenten von y und x um 1 vermindert, so ergiebt sich nachTschirnhaus : o : e =: 3y 2 + ax — x 2 : 3x 2 + 2ax — ay.

G • (lv

Dies ist unrichtig, denn — ist Nun ist, wenn f(x, y) = 0 ist,

df (*, y)

dy __ dx

dx — df(x,y)’

dy

also in unserem Beispiel, da f(x, y) = y 3 + axy — a 3 — x 2 y — x 3— ax 2 = 0 ist, ,

dy ay—2xy—3x 2 —2ax 3x 2 +2ax—ay+2xy

dx 3y 2 + ax — x 2 3y 2 +ax—x 2

Der Fehler, den Tschirnhaus begeht, indem in seiner Formel dasGlied 2xy fehlt, hat offenbar darin seinen Grund, dass er das Gliedx 2 y, welches doch sowohl x als y enthält, nur einmal berücksichtigt,während es doch, ebenso gut wie axy, zweimal hätte in Rechnunggebracht werden müssen. Auch ist der Gebrauch des = Zeichens,wie ihn Tschirnhaus macht, unstatthaft. Offenbar hiesse seine Regel,da das Hiuüberbringen aller das x enthaltenden Glieder nur denZweck hat, ihre Vorzeichen umzukehron, besser so: Man reduciredie gegebene Gleichung auf Null, dann multiplicire man alle y-Gliedermit dem Exponenten von y und vermindere dann denselben um 1,dann thue man dasselbe mit allen x-Gliedern und kehre zugleichihre Vorzeichen um. Endlich dividire man den ersteren Ausdruck

durch den zweiten, so erhält man —. Wenden wir dies auf unser

Beispiel an, in welchem also y 3 + axy — a 3 — x 2 y—x 3 —ax 2 = dist, so erhalten wir richtig