§. 9. Seine Brennlinien.

167

° __ 3y 2 + a x — x 2

e 3x 2 +2ax—ay+2xy

und es ist klar, dass man auf diese Weise stets das Richtige er-halten muss, denn die angegebenen Veränderungen mit den y- undx-Gliedem vornehmen, heisst nichts anderes, als die Gleichung nach

y und X diffcrenzircn. Nachdem nun | gefunden, wird statt ~ ge-

setzt

BD

(

I oder —. Tschimhaus erläutert sein

dx \

.. .. , y dx_dy 1

B L \ namhch y-dx/ yVerfahren an einem Beispiel. Die reflectirende Curye sei eine Pa-rabel und ihre Gleichung sei y = K^rx, so ist nach der Gleichung

y2 = 2rX 1 = L.

e r ‘

Da nun auch — = — ist, so folgt b = r und also auch d = r. Nache b

seiner Pormel (s. pag. 162 f) ist also

__(oy 2 -f 2r e y—r 2 o)(y 2 + r 2 ) ')

^ (ry — ry — re) (— 2y 2 — 2ey — 2r 2 )oder, wenn man im Nenner ry gegen —ry streicht und dann mitWeglassung der mit o 2 und e 2 behafteten Glieder im Zähler undNenner multiplicirt,

_oy 4 + 2rey 3 + 2r 3 ey— r 4 o

^ 2rey 2 + 2r 3 e ’

Woraus folgt: 2rpy 2 e -f- 2r 3 pe = oy 4 + 2rey 3 + 2r 3 ey — r 4 o,o 2rpy 2 -f-2r 3 p — 2ry 3 —2r 3 y

also “=-y*"=T^*

Es war aber — —~ —, also hat man die Gleichung.e r

2rpy 2 +2r 3 p—2ry 3 —2r 3 y _y7 ^— p 4 r

oder 2r 2 py 2 4-2r 4 p— 2r 2 y 3 — 2r 4 y = y 5 —yr 4oder * ~ " 1 —-^ 4 -L2r

folglichund

2r 2 p(y 2 + r 2 ) = y(y 4 +2r 2 y 2 -(-r 4 )=y(y 2 -j-r 2 ) 22r 2 p = y(y 2 +r 2 )

. y 3 + r 2 y

P =

2r 2

Davon, dass dies richtig ist, überzeugt man sich, auch abgesehenvon der Tadellosigkeit der gemachten Schlüsse, leicht. Denn, setzenWir für y seinen Werth V 2 rx, so ist also nach Tschimhaus:

’) Jedenfalls durch einen Druckfehler heisst in den Act. Erudit. der Nennerdieses Bruches (ry —re)(—2y s —2ey — 2r 2 ). Dass Tschimhaus das Richtige zuschreiben beabsichtigt hat, beweisen die mit dieser Formel Torgenommenen Um-formungen.