DU CALCUL INTÉGRAL. 373

/?/c7e/'l'intégrale , mais improprement, puisque ce n'est que satis-faire à la condition particulière du problème. Après avoir intégré pai'les réglés précédentes, on fera l’inconnue — o ; si toute la quantiténe devient pas aussi —o, qu’elle ait une valeur, on retranchera cettevaleur de l’intégrale trouvée , et l’on aura l'intégrale complété; car,puisqu’on est sûr que la quantité finie qui auroit produit la différen-tielle donnée doit disparoître quand l’inconnue = o, il faut donc larendre telle, et en ôter ce qui est nécessaire pour que le total s’éva-nouisse avec l’inconnue , si l’on veut avoir la quantité qui a dû pro-duire la différentielle donnée ; par exemple , l’intégrale de-^q—p-,

qui est— ^-A—^, devient —— quand x=o; il faut donc ajouter A, etl’on aura A — ^-A— , ce qui devient égal à o quand x = o. J’ai fait

usage de cette réglé (3556, 3733).

3446 . Le plus grand usage que nous fas.sions du calcul intégral,clans l’Astronomie, est poui les sinus. Supposons qu un arc a: aug-mente ou diminue d’une quantité infiniment petite 9,x, alors son si-nus augmentera on diminuera d’une quantité ^ x cos. x , c’est-à-direque ^ sin. x = cos. x.

Soit un arc AB (fig. 293 ), dont le sinus est BD . le cosinus DC,la différentielle BE; le sinus diminuera de la quantité BF, lorsquel’arc diminuera de BE , et le cosinus croîtra de la quantité FE ; ainsiBI- = sin. x , FE = (^ cos. x. Le triangle infiniment petit BEF estsemblable au triangle BCD ; car ils soiit tous deux rectangles; et deplus l'angle FBE , qui est le complément de CB F, est égal à l’angleBCD ; donc BF . BE ! ! CD ! BC, c’est à-dire 9, sin. x ; ^ x ; ;cos. x; 1 ; donc 9) sin. a'=^a; c.os. x.

344 7- lAe là il suit que la différentielle de x-he sin. x est 9^x-f-£ , 9^'ucos. x, ou ( 1 -he cos. x). Nous en avons tait usage (i25o) , oùz étant égalé à x-he sin. x, nous avons fait = (r -hecos. x),

3448 . On trouvera de même que ^ cos. x — — ^xsin. x; carles triangles semblables BCD, BEF, donnent cette proportion: FE IBE . . BD . BC , c est-à-di e -h 9^ cos. x • — 9^ x \ ; sin. x • 1 ; doncSt cos. x=z —3)-u sin. x; Cette expression a un signe négatif, tandisque la pr écédente avoit un signe positif, parceque les cosinus chan-gent eu sens contraire des s.nus , ils décroissent tandis que les arcs oules sinus augmentent.

3449 - Connoissant la différentielle de cos. 1 , on doit cherchercelleJe cos. mx, dont nous ferons nu fréquent usage dans les calculsde i anmction ; la différentielle de x est 9^-"O celle de mx est m 9|Xj: