t>Ü CALCUL INTÉGRAL. 879

8467. La quadrature du cercle consiste à trouver la sur r ace dusegment ABD (fig. 293), dont la différentielle est le petit rectangleFEKD. Supposons le rayon = o, CD = x, DK=r^:r, BD =

\/ na — xx, FEKD sera = y/ aa — a:ar-8,a:; c’est h différen-tielle dont il faudroit avoir l’intégrale pour trouver la quadrature ducercle; mais nous ne connoissons aucune quantité qui, étant diffé-

rentiée ( 343 o), puisse produire y/uu—.ru: - ^.r. 11 faut donc secontenter de trouver la quadrature du cercle par approximation , cequi est aisé dès qu’on connoît les sinus , ou les segmens , pat ies ap-proximations précédentes.

Supposant le diamètre égal à 1, l’on a pour la circonférence le nom-bresuivant, calculé par Ludolphdc Ceulen, Fundam. Gén/net., lib. 6 :3,1415926535897932384(526433832795028841971693993751

(Histoirede la quadrature du cercle , par M. Monlucln , 1764). Delàon conclut que le rayon du cercle en degrés et décimales de degrésvaut 57,295779613082320876798, ou 67° 17' 44" 48'" 22"" 29"'"21""", etc. (Euler, Introd., T. Il, pag. 3 o 5 .)

3468. Il y a lus différentielles dont on ne peut avoir l’intégralequ’en supposant connue la mesure des arcs de cercle; ces intégralescléjiendeni Jonc de la quadrature du cercle ; telle est l’intégrale de

- '• d n’y a aucune quantité qui, étant aifférenliée ( 343 o etsuiv.), puisse faire—; mais, si Ton fait CB = 1 (no. 293), et

v 1 — XX y

BD=;c, CD sera = %/ 1 -w; or CD ! CB ! BF ! BE, donc BE =-■ ; c’est la différentielle de l’arc BA : ainsi l’intég- ale cherchée

V i — xx 0

sera l’arc dont le sinus est x : si donc on avoit la mesure rigoureuse etexacte d’un arc dont le sinus est x , onamoil, par là même, Tinté-

grale exacte de — * — . Quoiqu’on ne Tait que par approximation ,

on ne laisse pas de regarder comme résolu un pioblème que Ton a ré-duit ainsi à la quadrature ou à la rectification du cercle ; et il y en aun tiès grand nombre (voyez le Calcul intégral de M. de Bougain-ville). Nous ferons usage de cette maniéré d’intégrer ( 3 7 3 4 )*

3469. On réduit à la quantité—beaucoup d’autres ditféren-

✓ l - XX

belles; par exemple y/ 1—qui exprime un segment decercle. L’intégrale de celle-ci se trouvera par le moyen d’un arc dont

a; est le sinus. En effet, y/ 1 —xx 2 ^ x( - l - xx) -—

i/

V/

B bb ij