expression de l'anomalie. 387

r Aulieu de M=f, on a , par les séries (N), (M), H-A-+-2B-H3C-{- 4 D = ■■; + a + + 6 c + À,d Î ou

Au lieu de N

1 a -f- 2 b -f- 3 c

(O) • • A—}—2B—t—3C —f-

+-4^ ’

4D =

. 2 h -

-tyâ

=—on a \ (A-4-8B —i-27C-4-64D) = 0-1-8

■ 27 c-|- f>4 d

(P)'

. A ■+■ 8 B —H 27 C -4— 6 ^ D :

6 ( H- n -f- i/H-ïc-f- 4</) ' 1

a -f- 8 -4- 27 c -t- 64 ^

OU

(i-J-a+2Zi-f-5e + /t^)‘ *

Or, dans le problème de Kepler, a — ie, b=\e-

■I e '

d = ïï e 4 (3482) ; substituant ces valeurs dans l’équation (O), et ré-

2( . + ! ( > +e » + ! (

•duisant, on a

A—h2B-t-3C~f-4D— 1 + 2 e +' e '4- c j+: e 4‘

Si l’on effectue la division en négligeant les puissances e 5 , on aura

(Q) . • • A-t-2B-t-3C-(-4D=:—2e-+-fe I —3e 3 -t-f e\

Pour simplifier de la même maniéré l’équation (P), il faut premiè-rement élever à la quatrième puissance ( 1-4-2 e-f- 3 e z -i-e î -+-l e 4 ) ,qui est la valeur de i-f-a-4-2£-h3c-4-4cé Dans cette opération,on peut négliger même la quatrième puissance de e, parceque, dansIâ divi§ion 1 elle n’influe que sur la cinquième. Alors, on a (î-t- 2e-h|e I -t-e î ) 4 = i-4-8e-+-3oe I -t-72e 3 . En divisant parle second mem-bre de cette équation la valeur de a H- B b -h 27 c -4-64 c/, qui est 2 e-+- 6 e*-+- 9e 3 -4-11e 4 , l’équation (P) deviendra

(R) - • - A-t-8B-i-27C-f- 64!)=—2C—t— ioe*— 29 e 3 -t-65 e 4 .

3485. Dans le problème de Képler, la série (K) a cette propriété

que les coëfficiens a, c, etc., correspondansaux multiples impairs deu, contiennent seulement les puissances impaires de l’excentricité e, etque les coëfficiens b, d, etc., correspondans aux multiples pairs de a,renferment seulement les puissances paires de u. La même loi doitavoir lieu, par analogie , dans la série (L) composée sur le modèlede la série (K) ; et l’on en a la preuve par l’équation de la forme (L.)*déjà calculée par d’autres auteurs. Si donc on admet pour principeque la valeur des indéterminées A, C, doit être exprimée par fespuissances impaires de e, et celles de B, D , parles puissances paires,on pourra tirer la valeur de ces quatre inconnues de deux seuleséquations (Q),(R), en lés décomposante!! quatre autres comme ilsuit.

A—H 3C=—2 6 -

A-4-27(3=—2e-

3 e 3

-291

2 B-f- 4D= {é 1 -3 8B-4-64D=!oe’-

■ ï e4

■ 65 e 4 .

Au moyen de cet artifice, M. Cagnoli a tiré, des cinq équationsfinales seulement (3183), la valeur de neuf indéterminées, en pous-sant l’approximation de la série (L) jusqu’à sin. 92:, et à la neuvième

C cc ij