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DES INEGALITES PAR L ATTRACTION.

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447.

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la différentielle de-Ç^r (343i) ; donc i-f-n:= —-

(/.g:)

ou f a i sons premier terme £_= î — s, on aura ^ s

— (^432) ; j = ^ (^ 57 ^) ’ est ^ a va ^ eur du dernier

terme; donc 1 —t— ri, = 1 — s —et s -+ -^A -t-fl=o. C’estl’é-

quation qu’il s’agit d’intégrer, mise sous la forme la plus simple, àlaquelle se réduit principalement la question du problème des troiscorps , dans tous les auteurs qui l’ont appliquée à la théorie delàLune (Clairaut, pag. 5; d’Alembert, pag. 16; Euler, pag. 21;Simpson, pag. 146 ).

3614 . On verra que SI se réduit à des termes tels que a cos. pu,c’est-à-dire qui ne renferment que des cos. de multiples de u ( 3623 ).

Nous allons intégrer cette équation, en supposant - 4 -a cos.

pu=o , ce qui sera peut-être moins élégant, mais plus.facile à en-tendre que l’intégration générale de Clairaut. On multipliera par du

cos. u, et l’on aura • cos. n- 4 - -h afyu-cos. pu-cos. U

= o; donc (38i5) n • cos. u -F- ^ - ^' c ° 5 ' " -Hln^u-cos. (p-+i)uH-ja • cos. ( p — 1 ) u= o. L’intégrale (345 1 ) est s • sin. u-h— •

& >

cos - u ~ h TTf+^ sin.(p-H)i/-t- T ~ =r jSin. (p— l ) u =g; la constanteg est celle qu’on doit toujours suppléer dans toute sorte d’intégration( 3444).

36i 5. Au lieu du sinus de la somme des angles u et pu, mettons savaleur (38oq) • sin pu • cos. n- 4 -sin. u • cos. pu; et, au lieu du sinusde la différence, mettons sa valeur (38 11 ) • sin. pu • cos. u —sin. ucos. pu, et nous aurons s sin. u-h-—A. C0Si M _| 1 — -sin. pu-côs.u

' 2{p+ 1 ) r

+

*(P+ 1 )

cos. pu=g. Mais

p—i—p—i

cos. u-

sin. u • cos. pu -\——^—- • sin. pu • cos. u-

' 2(P—1) '

- I +p+ 1

2{p— 1)

et 1

sin.u*j

pp—i

pp

p+i p— î pp — 1 pp— 1’ p+i p—i

—, ; donc on aura s • sin. n-4-jA cos. uH—•

— 1 'p.u pp — i