*tJ S A G E t> E S S I N U S. 541'

3830. Connoissant la valeur de sin. A 1 — ^ — îcos. 2A , il est

aisé de trouver sin. A 3 ou le cube de sin. A ; car il ne faut que mul-tiplier si n. A 3 par sin. A ; on aura sin. A 3 = jsiii. A — j cos. 2 A-sin. A :si l’on développe le dernier terme du second membre, savoir cos.2A*sin. A, par le moyen de la formule ( 3816 ) , on aura |sin.3A —jsin. A, qui, étant retranche dessin. A, donnera sin.A 3 = ^sin. A—^sin. 3 A. #

3831. Pour trouver de même cos. A 3 , l’on multipliera cos. A 2 , ou5-i-icos. 2 A-(382o) par cos. A ; l’on aura ^cos. A-i-tcos.2A-cos. A:le second terme, développé par la formule 38i5, sera ^cos. 3A-h^ cos. A, qui, ajouté à ^cos. A, donnera |cos. A -t- jcos. 3A.

3832. On aura par des opérations semblables sin. A 4 et cos. A 4 : ilne s’agit que'de multiplier les valeurs de sin. A 3 par sin. £ et de cos. A 3par cos. A, et de développer chacun des termes du produit parlesformules précédentes.

Sin. A 4 = | — jcos. 2 A -f- g cos. 4 A.

Cos.A 4 = | H-jcos. 2 A -+- jcos. 4A.

3833. Ces premiers termes sin. A, sin. A 1 , sin. A 3 , sin. A 4 , suffi-sent en faisant évanouir les fractions, pour faire appercevoirla loi sui-vant laquelle ils augmentent, et pour continuer la série (Introd. inanal, in/in. /, 220. Cagnoli, Trig. art. 127.)

3834- On emploie souvent les sommes et les différences des sinuset des cosinus ; ainsi il est nécessaire de les démontrer. On a d’abordsin. A -4- sin. B = 2sin. £( A -f- B) • cos. i ( A — B ). Car si on multi-plie les valeurs de sin. ( A -h B ) et de cos. ( A—B ) (3809 et 38i2),en considérant que sin. 2 -h cos. 2 = 1, on aura sin. A • cos. A-f-sin. B*jcos. B, qui revient à jsin. 2 A H~îsin. 2B( 3817 ) ; donc, en mettantA au lieu de 2 A, au lieu de A, B au lieu de 2B, et ~B aulieu de B,sin. A -f- sin. B = 2sin.i( A-4-B)-cos.j( A—B).

3835. Sin.A — sin. B = 2sin.i( A— B).cos.^(Ah-B). Car mul-tipliant les valeurs de sin. (A — B ) et cos. ( A -t- B ) ( 38 n et 3810),et considérant de même que sin. 2 -f-cos. 2 =i, on trouve sin.A-cos.A• sin.B-cos. B ou ( 3817 ) sin. 2 A—sin. 2B); donc sin. A—•sin. B =2sin.^(A — B)-cos. i( A-f-B ).

3835 s.in-A 4 - sin.1 3 tang.if A -f-B)

Il suffit de mettre en fraction les

Nous en

) S-

lin. A — sin.B tan g î ( A -r- JB)

deux valeurs précédentes , en considérant que i ~ =: tanavons fait usage ( 2201 ).

3837* De là suit une proportion fort usitée dans la trigonométrierectiligne ; la somme de deux côtés est à leur différence, comme la