PROPRIÉTÉS DES TRIANGLES SPHÉRIQUES. 5 j()

3978. Pour démontrer la réglé qui fait trouver le cosinus, je prends

( 3 p 44 ) > d’où l’ 0u tire 1 -t- cos. A ==

cos. A :

s. B C — cos. A G • cos. A B

n. A G ■ sin. AB

sin. A G-sin. A B — cos. AC - cos. A B -f- cos.BC y . , r .•

-:— —, —:—T'n-. Le numérateur de cette fraction

sin. A G • sin. AB

revient à cos.BC— cos.( AB -t- AC) ( 38 10), et par conséquent ( 383 p)à 2 sin. j ( AB-f- AC — BC) X sin.j( AB -t-AC-i-BC); et parce-

qu’en général cos. ^A 2 =

1 - 4 - cos. A

( 3820) , l’on aura cosin. 5 A 2 =3.

sin. y(AB 4 - AC — B C ) X sin. -(AB -f AC + BC)

sin. AC* sin. AB. * * »

3979. Si le triangle devenoit rectiligne, et qu’on lit AB = /z >A C —y et B C = ni , on auroit cos. I A 3 = — + n ~ m +zn - jr . Nousen avons fait usage (1197).

4 n j

On en peut déduire aussi la valeur de cosin. A :

A B‘ + a c> — b c»

2 A B ■ A G y

dont on a également besoin ( 1197 ). En effet cosin. A 1 est égal à( AB + AG — B G ) X (AB + AC+BC) i • . , \

' donc cosin. A , ou ( 0820 )

1 4 A B * A C

2 cosin. 1 A* — 1 =

(AB+AG-BG) X (AB + AC + BC)'

2 A B • A G

K

AB + AG + BG X AB AG — BG — 2 ÀB-AC

)

AB 1 -!- A G 1 — B C 1

AB-AG J 2 A B • A G

3980. Pour avoir l’angle A parle moyen de sa tangente ( 3977)il suffit de considérer que tang..^ A 2 — ; ainsi divisant la va-

leur de sin. 2 A 2 (8976) par celle de cos.r A 2 ( 3978), on aurà celle de

1 a n sin. ~ ( B C —f— A B — AC) X sin.^(BC — A B -f- AC) i i î

hnna -A" : : -C----——-i • c PSl Ici l’pn a

siu.-j ( AB .4- AC —BC) X sin.i( AB + AC + BC ) ? - CÛL lU iU D lu

de Gellibrand ( 3940,3977 ).

On déduit de cette formule une réglé pour résoudre un trianglerectiligne dont on connoît les trois côtés, c’est-à-dire chercher unangle : la demi-somme des trois côtés multipliée parla différence en-tre cette demi-somme et le côté opposé à l’angle cherché , est au pro-duit des différences entre la demi-somme et les deux côtés adjacens,comme le carré du rayon est au carré de la tangente de la moitié del’angle ( 1259 ).

3981. Les réglés de Ne p er pour trouver à la fois deux angles oudeux côtés sont souvent très commodes, èf'je vais les démontrer àl’exemple de M. Mauduit, après que j’aurai établi quelques foi>mules préliminaires.

P d d d ij