PROPRIÉTÉS DES TRIANGLES SPHÉRIQUES. » 585. 3989. Si l’on abaisse un arc DKn ( fig. 322 ) perpend. sur BC, BKsera plus petit que BD, par la même raison que BD est plus petit queBC ; ainsi la différence entre BC et BK, ou l’arc CK, sera sensible-ment le double de la réduction , sur-tout si l’angle B est fort petit ; ilsera donc égal à s • sin. 2 A ; c’est la différence entre l’opposition et lemilieu de l’éclipse ( 1758 ), qui a lieu pour les éclipses de Lune , etmême pour celles des satellites de Jupiter, en la diminuant de moi-tié ( 2951 ).

3990. On peut de même trouver une expression du côté opposéà l’angle donné, dont on a besoin dans les calculs de la théorie dela Lune. Soit TNS (fig. 3 19 ) le plan de l'écliptique, et T N V leplan de l’orbite de la Lune , sur lequel on abaisse du centre S duSoleil la perpendiculaire SV ; supposons S N et VN perpendiculairesà T’N , l’angle NS V sera égal à 1 inclinaison des deux plans ( 3869 ),l'angle STV sera égal à la latitude du Soleil par rapport à l’orbite de

la Lune , en sera le cosinus ( 38 o 3 ) ; supposant T N = 1 , NS

~zz et cos. SNV = 1 — j, ona TS =.\/1 -+- zz, NV = ( 1 — s ),>car 11 ! cos. N # ! ! NS i NV ( 38 oi); donc l’hypoténuse TV du triangle

TNV sera y/ 1 —t— ( 1 — syzz = y/ 1 zz — (2 s — s 1 ) zz =3

■zz

Xy/

(2 s — s

l + Z

71 -; Jonc^ = v /

( 2 SS - S S ) Il

et réduisant ce binôme en série (342 1 ) = 1 — (s y* s)zz —

V ^ ' I+S2 U + ZZ) 1 *

mais lorsque z est la tangente d’un angle STN, que j’appellerai A ,

son sinus est -- ( 38 o 6 ) , le carré = ‘ — 1 cosin. 2 A'

( 38 18 ) ; donc = sin. A 4 = \ — ‘cosin. 2 A H- * cosin. 4 A!

(3832 ) ; donc ^ ou le cosinus de l’angle STV, c’est-à-dire le cosi-nus du petit côté d’un triangle sphéiique dont A seroit l’hypoténuse1 — le cosinus du petit angle, sera = 1 — \s -+- '-s •)

cos. 2 A — cos. 4 A. Clairaut a fait usage de ce théorème dans sathéorie dn la Lune ; c’est pourquoi j'ai cru devoir en donner ici la dé-monstration, que l’auteur avoit supprimée pour abréger : j’en ai in-diqué l’usage (3629).

3991 . Connoissant deux hauteurs d’un astre et T intervalle des deuxobservations avec la hauteur du pôle , trouver la déclinaison et l’anglehoraire ; et si l’on connoît la déclinaison, trouver la hauteur du pôle etl angle horaire. Ce problème peut se résoudre par défaussés positions,Tome 111 . £ eee