Z8

Cl. Gasparis Bacheti

G. sequatur ei qui fit ex B in H nemp e ipsi K. Quamobrem constat tres E K G. squales esse inter se.Quod erat propositum.

P V An Deinde sint quatuor numeri A B C D.& tribus AB C inter se ductis fiat E quo. ,* du£toinreliquum DfiatK. Tum mutato ordine, & tribus B C Dinter ie ductis

2 ' 3 * ^ fiat F. quo ducto in reliquum A fiat H. Dico ipsos K & H «quales este inter se,

l2 ' &semper eundem produci numerum quomodocumque aliter ordine mutato

120. I 2 o. jidem A B C D inter se multiplicentur. Quia enim sumendo ternos A B C. tuinternos B C D. duo B C vtrique sumptioni communes fune, productus ex B in C esto G. patet ergo‘seoti“™* ex demonstratis in tribus numeris ex G in A produci E, & ex G in D, produci F. Quare „ vt E ad Fb* decima sic est A ad D . b Igitur qui fit ex E in D, nempe H, sequatur ei qui fit ex F in A nempe ipsi K.nona, 7. similiter quomodocumque sumantur tres ex iisdem quatuor numeris, duo ex illis repedentur mqualibet alia tritim sumptione. Quare lieebit eodem argumento propositum concludere.

Eodem modo si sint quinque numeri, sumendo quaternos & quaternos , produdiumque exmu-tua quatuor numerorum multiplicatione, ducendo in reliquum , reperientur tres iidem numeri induabus quibuslibet sumptionibus, vnde sumendo productum ex trium communium mutuo ductu,licebit simili prorsus argumento propositum concludere. Et sic in fex numeris per ea quas in quinquedemonstrata lunt probabitur intentum, & in septem per ea quas’in fex erunt ostensa. Igitur ex om-ni parte constat propositum.

PROPOSITIO IV.

Si fueriin quatuor numeri in proportionalitate arithmetica, erit summa extremo,nun , summa? mediorum-«qualis. Et si summa extremorum sit «qualis summa? me-diorum, erunt in proportionalitate arithmetica ipsi quatuor numeri.

Arithmetica proportionales dicitur cum primi & secundi idem est interuallum > quod tertij &quarti, ita tamen vt primus secundo, & tertius quarto comparati, singuli singulis vel «qualessint, vel maiores ; vel minores , non perturbato ordine.

A R Sint ergo arithmetice proportionales AB ad C sicut DG ad H. dico extremorum

^. AB&H summam «quari summa; mediorum C & D G. etenim vel A B «qualis est

.. .. C. vel maior vel minor illo. Sic primum «qualis ergo vt seruecur arithmetica

"i. medietas, erit & D G. «qualis, ipsi H. Quamobrem si «qualibus A B & C ad-

.. dantur «quales H & D G. erunt duo A B & H simul «quales duobus C & D G si-mul. Quod est propositum.

_ „ Deinde excedat A B numerum C numero E Bitavt A E& C sint «quales, igi-

", . tur& DG excedit H numero F G. «quali ipsi E B. per definitionem, & erit

ss' " ''' p D F ipsi H «qualis. Itaque si «qualibus A E & C addantur «quales H & D F*' fient AE&Hsimulsquales H& DF fient AE& H simul «quales ipsis C &D F simul, igitur si his summis «qualibus addantur rursus «quales E B & F G.Erunt AB&H simul «quales ipsis C & D G simul. Quod demonstrandum erat.

Denique concipiatur H primus. DG secundus. C tertius. A B quartus, ita vt H sit minor quamD G numero FG.&C sit minor quam A B numero E B, sintque differenti* F G. E B «quales;dico rursus extremorum H & A B summam «quari summ* mediorum D G & C. Nam considerarisiisdem numeris ordine inuerso concludetur per proxime demonstrata summam duorum AB & H.«quari summ« duorum C & D G. Quod est propositum.

Iam £ conuerso sit summa extremorum A B & H «qualis fumm® mediorum C & DG. Dicoipsos quatuor numeros esse in arithmetica medietate. Nam vel A B «qualis est ipsi C vel maior velminor illo. Sit primum «qualis. Quia igitur A B & H simul «quantur ipsis C& D G simul, si vtrim-que auferantur «quales AB. & C. remanebunt D G. & H «quales. Quare sicut ipsorum A B & Cnullum est interuallum , sic & ipsorum D G. & H. Vnde constat propositum.

Deinde excedat AB ipsum C numero E B ita vt A E & C sint «quales. Igitur ab «qualibussummis duorum AB&H simul, & duorum C & D G simul, auferendo «quales numeros A E &C. remanent E B & H simul, «quales ipsi D G. Quare si abscindatur ex D G, numerus D F squa-lis H, erit reliquus F G. «qualis E B.Cum itaque A B. excedat C. eodem numero quo DG exceditH. erunt arihcmetice proportionales ipsi quatuor numeri. Quod demonstrandum erat.

Denique concipiatur H primus D G. secundus. G tertius. A B quartus. Ita vt H sit minor quämD G numero FG.& reliquus D F sit «qualis ipsi H. Quia ergo ab «qualibus summis duorum H&

A B. & duorum DG, & C. auferendo «quales H & D F remanent F G & C simul «quales ipsi A B,si ab A B abscindatur A E «qualis ipsi C relinquetur E B «qualis ipsi F G. Quare cum H deficiat a

i